Encontre a área da região limitada pelas curvas a seguir.
y=sen(x), y=e^x, x=0, x=pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e . Vamos usar cálculo, especificamente a integral definida, para calcular essa área. Precisamos entender como essas funções se comportam no intervalo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das duas funções, ou , está por cima no intervalo dado. Vamos avaliar cada função nos extremos desse intervalo:
  • Quando :
    • Então, está acima de .
  • Quando :
    • Novamente, está acima de .
Como está sempre acima de nesse intervalo, podemos prosseguir com a integral da diferença dessas funções para encontrar a área.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral definida que representa a área entre as duas curvas:
Área = integral0^pi2 (e^x - sin(x)) , dx Á
Aqui, subtraímos de porque está acima de .

Passo 4

Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
integral e^x , dx = e^x + C
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Então, a integral completa fica:
integral0^pi2 (e^x - sin(x)) , dx = [ e^x + cos(x) ]0^pi2

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
[ e^pi2 + cos(pi2) ] - [ e^0 + cos(0) ]
Sabemos que e^pi2 + 0 - (1 + 1) = e^pi2 - 2 , e . Substituindo esses valores:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é igual a unidades quadradas.

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