Encontre a área da região limitada pelas curvas a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Vamos usar cálculo, especificamente a integral definida, para calcular essa área. Precisamos entender como essas funções se comportam no intervalo de
até
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual das duas funções,
ou
, está por cima no intervalo dado. Vamos avaliar cada função nos extremos desse intervalo:
-
Quando
: -
-
- Então,
está acima de .
-
-
Quando
: -
-
- Novamente,
está acima de .
-
Como
está sempre acima de
nesse intervalo, podemos prosseguir com a integral da diferença dessas funções para encontrar a área.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral definida que representa a área entre as duas curvas:
Aqui, subtraímos
de
porque
está acima de
.
Passo 4
Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
Sabemos que
,
e
. Substituindo esses valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é igual a
unidades quadradas.