Questão 4:
É falsa ou verdadeira a seguinte afirmativa?
Se U, V, W e Z são vetores não nulos, todos paralelos a um mesmo plano, então
(U times V) times(W times Z)=0
A correção da prova será colocada no site oficial de GAAL
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Passo 1

O enunciado afirma que U, V, W, Z são vetores não-nulos e todos estão contidos num mesmo plano P, e pede para decidir se
(U times V)times(W times Z)=0
é sempre verdadeiro. O conteúdo aqui é geometria do produto vetorial, em particular que o produto vetorial de vetores num plano é um vetor perpendicular a esse plano, e que o produto vetorial de vetores colineares é o vetor nulo.

Passo 2

Como U e V estão em P, o vetor
U times V
é perpendicular a P. De modo análogo, como W e Z também estão em P, o vetor
W times Z
é perpendicular a P também. Logo, ambos Utimes V e Wtimes Z são colineares (estão sobre a mesma reta ortogonal a P).

Passo 3

O produto vetorial de dois vetores colineares é sempre o vetor nulo. Como acabamos de ver que Utimes V e Wtimes Z são colineares, então
(U times V)times(W times Z)=0

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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