Sejam as retas
r:l x=2+3 t y=4+5 t z=m t e s:l y=2 x+1 z=x2+32
(a) calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes;
(b) determinar, para o valor de m, o ponto de interseção de r e s.

Passo 1

O enunciado dá a reta
e a reta para que e tenham um ponto em comum e (b) esse ponto de interseção.

Passo 2

Seja (x,y,z) um ponto genérico de r. Então
x=2+3t, y=4+5t, z=mt
Para que esse ponto pertença a s, deve satisfazer as duas equações que definem s.

Passo 3

Impondo y=2x+1 em termos de t:
4+5t = 2(2+3t)+1 = 5+6t Longrightarrow 4+5t=5+6t Longrightarrow -t=1 Longrightarrow t=-1

Passo 4

Para t=-1 temos x=2+3(-1)=-1. Agora a condição z=tfracx2+tfrac32 vira
mt = m(-1) = -m = -12+32=1 Longrightarrow -m=1 Longrightarrow m=-1

Passo 5

Com m=-1 e t=-1, as coordenadas do ponto em r são
x=2+3(-1)=-1, y=4+5(-1)=-1, z=m,t=(-1)cdot(-1)=1
Esse é exatamente o ponto que satisfaz as equações de s.

Resposta

(a) m=-1
(b) O ponto de interseção é (-1,-1,1).

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