Questão 3:
Sejam dados o plano pi de equação x-y+2 z=1 e o ponto P=(3,0,5).
  1. Determine o ponto Q in pi tal que a reta por P e Q seja perpendicular ao plano pi.
  2. Detemine o ponto P^prime simétrico de P em relação ao plano pi.

Passo 1

O enunciado dá o plano pi de equação
x - y + 2z = 1
e o ponto P=(3,0,5).
  1. Precisamos encontrar o ponto Qinpi tal que a reta PQ seja perpendicular a pi (pé da perpendicular).
  2. Em seguida, determinaremos o ponto P' simétrico de P em relação a pi.
    Para isso usaremos a fórmula de projeção ortogonal de um ponto em um plano e a relação de reflexão.

Passo 2

Colocamos a equação de pi na forma
ax + by + cz + d = 0
Como
x - y + 2z = 1 Longrightarrow x - y + 2z - 1 = 0,
temos
a = 1, b = -1, c = 2, d = -1

Passo 3

Para o ponto P=(x0,y0,z0)=(3,0,5), calculamos
De<a = a x0 + b y0 + c z0 + d = 1cdot3 + (-1)cdot0 + 2cdot5 -1 = 12
e
N = a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 6

Passo 4

O pé da perpendicular Q é dado por
Q = P - De<aN,(a,b,c)
Substituindo De<a=12 e N=6, vem
Q = (3,0,5) - 2,(1,-1,2) = (3-2,;0+2,;5-4) = (1,2,1)

Passo 5

O simétrico P' de P em relação ao plano é
P' = 2Q - P
Logo
P' = (2cdot1 - 3,;2cdot2 - 0,;2cdot1 - 5) = (-1,4,-3)

Resposta

O ponto Q é (1,2,1) e o ponto simétrico P' é (-1,4,-3).

Exercícios relacionados