Questão 1. Um feixe de partículas vindo de x=-\infty encontra uma potencial degrau descrito por V(x)=V_{0}, em que V_{0} é uma constante positiva, em x=0. Considere que o feixe de particulass incidentes tenha energia igual a E, em que 0<E<V_{0}. (a) Encontre a função de onda para x<0 e para x>0, e edescreva os coeficiente de transmissão e reflexão para este potencial. (b) Se o feixe incidente tiver 1 bilhão de partículas, e tivermos V_{0}=10 \mathrm{eV} e E=0,5 \mathrm{eV}, quantas partículas, em média, poderão ser detectadas na região x>0 ? Interprete os resultados encontrados.

Passo 1

O enunciado diz: um feixe de partículas vem de [x=-\infty) e encontra um potencial degrau em x=0 dado por V(x)=V_{0} para x>0 e V(x)=0 para x<0. A energia das partículas incidentes é E com 0<E<V_{0}.
As perguntas são:
  • (a) Encontrar a função de onda em x<0 e em x>0 e descrever os coeficientes de reflexão e transmissão para este potencial.
  • (b) Se tivermos 10^{9} partículas incidentes com V_{0}=10\\ \mathrm{eV} e E=0{,}5\\ \mathrm{eV}, quantas partículas, em média, poderão ser detectadas na região x>0? Interpretar o resultado.
Informações dadas:
V(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] V_{0}, & x>0, \end{cases} \qquad 0<E<V_{0},
e no item (b) temos V_{0}=10\\ \mathrm{eV}\], \(E=0{,}5\\ \mathrm{eV} e número de partículas incidentes N=10^{9}.]

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo e as soluções gerais em cada região. A equação de Schrödinger independente do tempo unidimensional é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi=E\psi.
Para x<0 (onde V=0) a equação vira
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=E\psi(x).
Definimos o número de onda
k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}.
A solução geral em x<0 (região I) é combinação de onda incidente para a direita e refletida para a esquerda:
\psi_{I}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},
onde A é amplitude da onda incidente e B da onda refletida.
Para x>0 (região II, V=V_{0}) a equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+V_{0}\psi(x)=E\psi(x)\quad\Rightarrow\quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=(E-V_{0})\psi(x).
Como E<V_{0}, definimos
\kappa=\sqrt{\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}},
que é real e positivo. As soluções são exponenciais reais:
\psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+F\,e^{-\kappa x}.
Pela condição física de que a função de onda deve permanecer limitada quando x\to+\infty, descartamos o termo crescente e^{\kappa x}. Portanto em x>0 ficamos com
\psi_{II}(x)=F\,e^{-\kappa x}.

Passo 3

Impondo condições de contorno em x=0: continuidade de \psi e de sua derivada \psi'. Isso vem da equação de Schrödinger (potencial finito implica continuidade de \psi e \psi').
Continuidade de \psi em x=0:
\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0)\quad\Rightarrow\quad A+B=F.
Continuidade de \psi' em x=0:
\psi'_{I}(0)=\psi'_{II}(0).
Calculando derivadas:
\psi'_{I}(x)=ikA\,e^{ikx}-ikB\,e^{-ikx}\quad\Rightarrow\quad \psi'_{I}(0)=ik(A-B),
\psi'_{II}(x)=-\kappa F\,e^{-\kappa x}\quad\Rightarrow\quad \psi'_{II}(0)=-\kappa F.
Igualando:
ik(A-B)=-\kappa F.
Usamos F=A+B para eliminar F. Substituindo:
ik(A-B)=-\kappa(A+B).
Agora resolvemos para a razão B/A. Reorganizando:
ikA-ikB=-\kappa A-\kappa B
(ik+\kappa)A=(ik-\kappa)B
Logo
\frac{B}{A}=\frac{ik+\kappa}{ik-\kappa}.
Também podemos obter F em função de A:
F=A+B=A\left(1+\frac{ik+\kappa}{ik-\kappa}\right)=A\frac{2ik}{ik-\kappa}.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes de reflexão e transmissão em termos de correntes de probabilidade. A corrente de probabilidade unidimensional é
j(x)=\frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^{*}\frac{d\psi}{dx}-\psi\frac{d\psi^{*}}{dx}\right).
Para uma onda plana A e^{ikx} a corrente é j=\dfrac{\hbar k}{m}|A|^{2} (direita positiva). Para a onda B e^{-ikx} a corrente é j_{\text{ref}}=-\dfrac{\hbar k}{m}|B|^{2} (sai para a esquerda).
Definimos o coeficiente de reflexão
R=\frac{|j_{\text{ref}}|}{j_{\text{inc}}}=\frac{\dfrac{\hbar k}{m}|B|^{2}}{\dfrac{\hbar k}{m}|A|^{2}}=\frac{|B|^{2}}{|A|^{2}}=\left|\frac{B}{A}\right|^{2}.
Agora avaliamos o módulo de \dfrac{B}{A}=\dfrac{ik+\kappa}{ik-\kappa}. O numerador e denominador são complexos conjugados multiplicados por -1 quando trocamos o sinal de i; podemos calcular o módulo diretamente:
\left|\frac{ik+\kappa}{ik-\kappa}\right|^{2}=\frac{(ik+\kappa)(-ik+\kappa)}{(ik-\kappa)(-ik-\kappa)}=\frac{k^{2}+\kappa^{2}}{k^{2}+\kappa^{2}}=1.
Portanto
R=1.

Passo 5

Coeficiente de transmissão T. Em x>0 a função de onda é \psi_{II}(x)=F e^{-\kappa x}. Calculamos a corrente associada a essa função de onda. Como F e^{-\kappa x} é real-multiplicada por exponencial decrescente, ao calcular
j_{II}=\frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^{*}_{II}\psi'_{II}-\psi_{II}\psi'^{*}_{II}\right)
verificamos que \psi_{II} e \psi'_{II} são proporcionais a e^{-\kappa x} com coeficientes reais (multiplicados por F que pode ter fase), e o resultado é j_{II}=0. Intuitivamente, uma onda evanescente não carrega corrente de probabilidade para +\infty.
Definimos o coeficiente de transmissão como razão entre corrente transmitida (em x\to+\infty) e corrente incidente. Como j_{II}=0, temos
T=0.
Assim R+T=1 é satisfeito: R=1, T=0.
Físicamente isso significa que todo o feixe é refletido (em fluxo) — não há fluxo contínuo passando para x\to+\infty. Contudo a função de onda em x>0 não é zero: há penetração evanescente próxima à interface.

Passo 6

Escrever explicitamente as funções de onda (escolhendo A como amplitude de referência, por exemplo A=1 para visualizar as formas):
Em x<0:
\psi_{I}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx} \quad\text{com}\quad \frac{B}{A}=\frac{ik+\kappa}{ik-\kappa}.
Em x>0:
\psi_{II}(x)=F\,e^{-\kappa x}\quad\text{com}\quad \frac{F}{A}=\frac{2ik}{ik-\kappa}.
Observações didáticas rápidas sobre as amplitudes:
  • \dfrac{B}{A} tem módulo 1 → reflexão total com mudança de fase (fase não nula, dada pelo argumento complexo).
  • F geralmente tem magnitude menor que A; a densidade de probabilidade em x>0 é |F|^{2}e^{-2\kappa x}, portanto decai com comprimento característico 1/\kappa.

Passo 7

Cálculo numérico da profundidade de penetração para os dados do item (b) e conclusão sobre número de partículas detectadas. Primeiro calculamos \kappa para V_{0}-E=9{,}5\\ \mathrm{eV}. Usamos 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}, m massa do elétron m=9{,}11\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg} (assumindo elétrons), e \hbar=1{,}055\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Convertendo energia:
V_{0}-E=9{,}5\\ \mathrm{eV}=9{,}5\times 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}=1{,}5219\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Agora
\kappa=\sqrt{\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}\approx\sqrt{\frac{2\cdot(9{,}11\times 10^{-31})\cdot(1{,}5219\times 10^{-18})}{(1{,}055\times 10^{-34})^{2}}}\approx 1{,}58\times 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
O comprimento de penetração (depth) é 1/\kappa:
\frac{1}{\kappa}\approx 6{,}33\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}63\\ \text{\AA}.
Isso diz que a função de onda em x>0 cai muito rapidamente (ordem de décimos de angstrom) — ou seja, a penetração é extremamente curta.
Como mostramos no passo anterior, o coeficiente de transmissão (fluxo) é T=0. Logo, do ponto de vista do fluxo (número de partículas que atravessam para +\infty) a média de partículas detectadas em x>0 é zero. Portanto, com N=10^{9} partículas incidentes, o número médio detectado em x>0 é
N_{\text{trans}}=T\cdot N=0\cdot 10^{9}=0.
Interpretação importante (resumida): embora não haja fluxo transmitido (nenhuma partícula passa para x\to+\infty em média), existe densidade de probabilidade não nula muito próxima ao limite x=0^{+}. Se você colocar um detector extremamente fino e muito próximo da fronteira ( x da ordem de 1/\kappa), há certa probabilidade de encontrar uma partícula ali num único colapso de medida. Mas não existe um fluxo contínuo de partículas atravessando a região x>0 — nenhuma partícula será detectada longe da fronteira e, em média, o número detectado em x>0 (como passagem para a região à direita) é zero.

Resposta

(a) \psi(x)=\begin{cases}A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}, & x<0,\\[4pt] F\,e^{-\kappa x}, & x>0,\end{cases} com \;k=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}},\;\kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}},\;\dfrac{B}{A}=\dfrac{ik+\kappa}{ik-\kappa},\;\dfrac{F}{A}=\dfrac{2ik}{ik-\kappa}. Coeficientes de reflexão e transmissão: R=1 e T=0.
(b) Número médio detectado em x>0: 0 partículas (para N=10^{9} incidentes); comprimento de penetração 1/\kappa\approx 6{,}33\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}, ou seja, há penetração evanescente muito próxima a x=0 mas nenhum fluxo transmitido para +\infty.]

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