Questão 6 (IADES - HEMOCENTRO - 2017). Um empréstimo de
12.000,00
10 %
1,1^{5}=1,6105$ ).
A)
1.750,20
.
C)
3.000,30
.
E)
4.400,32$.
A)
C)
E)
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo e pede o valor da prestação fixa pelo Sistema Price (prestações postecipadas). Dados extraídos do enunciado:
- Valor presente (empréstimo):
. - Taxa de juros mensal:
, isto é, por mês. - Número de prestações:
. - Informação numérica fornecida:
.
O que se pede: calcular a prestação constante (valor da prestação) e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
O que é o Sistema Price e qual fórmula usar.
- No sistema Price (também chamado de sistema francês), as prestações são iguais e pagas ao final de cada período (postecipadas).
- A fórmula da prestação
para um empréstimo de valor presente , taxa por período e número de períodos é:
Explicando cada termo:
-
é o principal (valor do empréstimo), aqui . -
é a taxa de juro por período, aqui . -
é o fator de capitalização após períodos; o enunciado já forneceu .
Essa fórmula vem de igualar o valor presente das prestações ao empréstimo, considerando que cada prestação é uma renda perpétua finita descontada à taxa. Não precisa decorar a derivação agora, mas tente lembrar a fórmula na prova.
Passo 3
Substituir os valores na fórmula e simplificar cuidadosamente.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Calculemos numerador e denominador separadamente:
Portanto
Para facilitar a conta, escrevemos a fração em termos inteiros:
Simplificando por
:
Então
Simplificando
por
:
Logo
Passo 4
Fazer a divisão para obter o valor numérico da prestação (longa divisão explicitada para ficar claro como arredondar).
Dividindo por
:
Dividindo
-
cabe vezes em porque . - Resta
.
Agora os decimais: -
(resto) gera a primeira casa decimal: (resto ), então a primeira casa decimal é . -
(resto ), segunda casa decimal . -
(resto ), terceira casa decimal . -
(resto ), quarta casa decimal . -
(resto ), quinta casa decimal . -
(resto ), sexta casa decimal .
Voltamos ao resto, então a expansão decimal é periódica com o bloco .
Assim
Arredondando para centavos (moeda), obtemos
Passo 5
Comparação com as alternativas fornecidas.
As alternativas são:
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .
As alternativas são:
A)
B)
C)
D)
E)
O valor calculado
é muito próximo da alternativa D (
); nenhuma outra alternativa está próxima. A pequena diferença de alguns centavos vem de aproximações numéricas no arredondamento intermediário (o enunciado deu
com certa precisão), portanto a alternativa correta, dentro das opções dadas, é a D.