Questão 6 (IADES - HEMOCENTRO - 2017). Um empréstimo de \mathrm{R} \ 12.000,00 , com taxa composta mensal de10 % , pago em cinco prestações postecipadas pelo Sistema Price de amortização, gera prestações de, aproximadamente, (Dado:çõçãçõ1,1^{5}=1,6105$ ).
A) \mathrm{R} \ 1.750,20 . B) \(R \\) 2.650,00.
C) \mathrm{R} \ 3.000,30 . D) \(\mathrm{R} \\) 3.165,57.
E) \mathrm{R} \ 4.400,32$.

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo e pede o valor da prestação fixa pelo Sistema Price (prestações postecipadas). Dados extraídos do enunciado:
  • Valor presente (empréstimo): \mathrm{R}\$\,12.000{,}00.
  • Taxa de juros mensal: 10\%, isto é, i=0{,}10 por mês.
  • Número de prestações: n=5.
  • Informação numérica fornecida: 1{,}1^{5}=1{,}6105.
    O que se pede: calcular a prestação constante (valor da prestação) e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

O que é o Sistema Price e qual fórmula usar.
  • No sistema Price (também chamado de sistema francês), as prestações são iguais e pagas ao final de cada período (postecipadas).
  • A fórmula da prestação A para um empréstimo de valor presente PV, taxa por período i e número de períodos n é:
A = PV \cdot \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.
Explicando cada termo:
  • PV é o principal (valor do empréstimo), aqui PV = \mathrm{R}\$\,12.000.
  • i é a taxa de juro por período, aqui i = 0{,}10.
  • (1+i)^{n} é o fator de capitalização após n períodos; o enunciado já forneceu (1+i)^{n}=1{,}6105.
    Essa fórmula vem de igualar o valor presente das prestações ao empréstimo, considerando que cada prestação é uma renda perpétua finita descontada à taxa i. Não precisa decorar a derivação agora, mas tente lembrar a fórmula na prova.

Passo 3

Substituir os valores na fórmula e simplificar cuidadosamente.
Usando a fórmula:
A = 12000 \cdot \frac{0{,}10 \times 1{,}6105}{1{,}6105 - 1}.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
\text{numerador} = 0{,}10 \times 1{,}6105 = 0{,}16105,
\text{denominador} = 1{,}6105 - 1 = 0{,}6105.
Portanto
A = 12000 \cdot \frac{0{,}16105}{0{,}6105}.
Para facilitar a conta, escrevemos a fração em termos inteiros:
\frac{0{,}16105}{0{,}6105}=\frac{16105}{61050}.
Simplificando por 5:
\frac{16105}{61050}=\frac{3221}{12210}.
Então
A = 12000 \cdot \frac{3221}{12210}.
Simplificando 12000/12210 por 30:
\frac{12000}{12210}=\frac{400}{407}.
Logo
A=\frac{400}{407}\times 3221=\frac{1\,288\,400}{407}.

Passo 4

Fazer a divisão para obter o valor numérico da prestação (longa divisão explicitada para ficar claro como arredondar).
Dividindo 1\,288\,400 por 407:
  • 407 cabe 3165 vezes em 1\,288\,400 porque 407\times3165=1\,288\,155.
  • Resta 1\,288\,400-1\,288\,155=245.
    Agora os decimais:
  • 245 (resto) gera a primeira casa decimal: 2450/407=6 (resto 8), então a primeira casa decimal é 6.
  • 80/407=0 (resto 80), segunda casa decimal 0.
  • 800/407=1 (resto 393), terceira casa decimal 1.
  • 3930/407=9 (resto 267), quarta casa decimal 9.
  • 2670/407=6 (resto 228), quinta casa decimal 6.
  • 2280/407=5 (resto 245), sexta casa decimal 5.
    Voltamos ao resto 245, então a expansão decimal é periódica com o bloco 601965.
    Assim
A \approx 3165{,}601965\ldots
Arredondando para centavos (moeda), obtemos
A \approx \mathrm{R}\$\,3.165{,}60.

Passo 5

Comparação com as alternativas fornecidas.
As alternativas são:
A) \mathrm{R}\$\,1.750{,}20.
B) \mathrm{R}\$\,2.650{,}00.
C) \mathrm{R}\$\,3.000{,}30.
D) \mathrm{R}\$\,3.165{,}57.
E) \mathrm{R}\$\,4.400{,}32.
O valor calculado \mathrm{R}\$\,3.165{,}60 é muito próximo da alternativa D ( \mathrm{R}\$\,3.165{,}57); nenhuma outra alternativa está próxima. A pequena diferença de alguns centavos vem de aproximações numéricas no arredondamento intermediário (o enunciado deu 1{,}1^{5}=1{,}6105 com certa precisão), portanto a alternativa correta, dentro das opções dadas, é a D.

Resposta

\text{D) }\mathrm{R}\$\,3.165{,}57

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