Questão 2. Fios são, em geral, vendidos em meadas. Uma meada de fio de lã mede aproximadamente 1.463 metros. Um inspetor de controle de qualidade usa uma máquina especial para medir rapidamente cada meada. Obteve-se uma amostra aleatória durante o processo de fabricação, e o comprimento (em metros) de cada meada é apresentada abaixo:
1462, 1463, 1469, 1461, 1461, 1468, 1461, 1465, 1460, 1462, 1462, 1464, 1467, 1461, 1463, 1462,
1461, 1471, 1470, 1460, 1461, 1467, 1463, 1468, 1466, 1461, 1462, 1466, 1461, 1464, 1465, 1464,
1462, 1472, }146
a) Construa uma tabela de frequência (absoluta e relativa) para resumir esses dados.
b) Construa um histograma para esses dados.
c) Estime o número M tal que 50 % dos dados estão abaixo de Me 50 % estão acima de M .
d) Descreva a distribuição em termos de forma, centro e variabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Questão 2 juntos! O exercício fala sobre medir o comprimento de meadas de fio de lã, usando uma amostra de dados fornecidos. A matéria que vamos usar aqui é Estatística Descritiva, focando em tabelas de frequência, histogramas, mediana e características da distribuição como forma, centro e variabilidade. Para isso, vamos precisar organizar os dados, calcular frequências, desenhar um histograma, encontrar a mediana e analisar a distribuição.

Passo 2

a) Construir uma tabela de frequência (absoluta e relativa):
Primeiro, vamos organizar os dados em uma tabela para contar quantas vezes cada comprimento aparece (frequência absoluta) e qual a proporção desses valores no total (frequência relativa).
  1. Listar os valores únicos:
    Olhando os dados, os comprimentos variam de 1460 a 1472 metros. Vamos listar cada valor e contar quantas vezes aparece.
  2. Contar as frequências absolutas:
    Vamos contar quantas vezes cada comprimento aparece na lista.
  3. Calcular as frequências relativas:
    A frequência relativa é a frequência absoluta dividida pelo total de observações.
Aqui está a tabela de frequência:
Comprimento (m) Frequência Absoluta (f) Frequência Relativa (fr)
1460 2 2/34 ≈ 0,059
1461 9 9/34 ≈ 0,265
1462 7 7/34 ≈ 0,206
1463 4 4/34 ≈ 0,118
1464 3 3/34 ≈ 0,088
1465 2 2/34 ≈ 0,059
1466 2 2/34 ≈ 0,059
1467 2 2/34 ≈ 0,059
1468 2 2/34 ≈ 0,059
1469 1 1/34 ≈ 0,029
1470 1 1/34 ≈ 0,029
1471 1 1/34 ≈ 0,029
1472 1 1/34 ≈ 0,029
Total 34 1,000

Passo 3

b) Construir um histograma para esses dados:
Um histograma é um gráfico que mostra a distribuição das frequências dos dados. Para construir um histograma:
  1. Definir os intervalos (classes):
    Já que os dados variam de 1460 a 1472, podemos usar classes de 1 metro para cada comprimento.
  2. Plotar as barras:
    No eixo X, colocamos os comprimentos, e no eixo Y, a frequência absoluta.
Aqui está um esboço de como seria o histograma:
Frequência
   |
  10|        *
   |        *
   |        *
   |        *        *                 *
   |*       *        *        *        *
   |*       *        *        *        *        *
   |*       *        *        *        *        *
    ---------------------------------------------
     1460  1461  1462  1463  1464  1465  ... 1472
Cada “*” representa a frequência absoluta de cada comprimento.

Passo 4

c) Estimar o número M tal que 50% dos dados estão abaixo de M e 50% acima de M (Mediana):
A mediana é o valor que divide os dados ao meio. Para encontrar a mediana:
  1. Ordenar os dados:
    Primeiro, precisamos organizar os 34 valores em ordem crescente.
  2. Encontrar a posição da mediana:
    Como temos um número par de dados (34), a mediana será a média dos valores nas posições 17 e 18.
  3. Identificar os valores nas posições 17 e 18:
    Após ordenar, identificamos quais são esses valores e calculamos a média.
Vamos calcular:
Após ordenar, os 34 valores ficam assim:
1460, 1460, 1461, 1461, 1461, 1461, 1461, 1461, 1461, 1461, 1462, 1462, 1462, 1462, 1462, 1462, 1462, 1463, 1463, 1463, 1463, 1464, 1464, 1464, 1465, 1465, 1466, 1466, 1467, 1467, 1468, 1468, 1469, 1470, 1471, 1472.
As posições 17 e 18 correspondem aos 17º e 18º valores:
Posição 17: 1462
Posição 18: 1463
Calculando a média:
M = (1462 + 1463) / 2 = 1462.5 metros

Passo 5

d) Descrever a distribuição em termos de forma, centro e variabilidade:
Vamos analisar três aspectos:
  1. Forma:
    Observando o histograma e a tabela de frequência, vemos que a maioria das meadas está concentrada entre 1460 e 1465 metros, com alguns valores mais altos. Isso sugere uma distribuição ligeiramente assimétrica para a direita (cauda para valores maiores).
  2. Centro:
    A mediana calculada é 1462.5 metros, que representa o centro dos dados. Além disso, a média aritmética dos dados seria um pouco maior devido à assimetria, mas a mediana é uma boa representação do centro.
  3. Variabilidade:
    A variabilidade indica o quão dispersos os dados estão. Observando os comprimentos, a maioria está dentro de uma faixa de ±10 metros em torno da mediana, mostrando uma variabilidade moderada. Podemos também calcular a amplitude (valor máximo - mínimo), que é 1472 - 1460 = 12 metros, para quantificar essa dispersão.

Resposta

A mediana $ M $ dos dados é 1462,5 metros, significando que 50% das meadas têm comprimento abaixo de 1462,5 metros e 50% acima desse valor.

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