Questão 3. A resistência ao cisalhamento de 50 soldas de ponto em duas ligas de titânio é dada a seguir.
Liga A:
5329 5399 5416 5431 5454 5376 5399 5416 5436 5454 5377 5401 5420 5440
5458 5378 5401 5422 5440 5463 5381 5401 5425 5442 5469 5383 5407 5428
5445 5475 5385 5407 5429 5446 5477 5388 5408 5431 5447 5481 5388 5408
5431 5453 5485 5391 5411 5431 5453 5487
Liga B:
5452 5342 5388 5416 5427 5457 5354 5390 5416 5429 5459 5357 5396 5418
5430 5459 5366 5399 5418 5435 5462 5375 5406 5420 5435 5465 5382 5406
5421 5440 5466 5384 5406 5421 5441 5473 5387 5409 5422 5444 5481 5387
5412 5422 5445 5482 5388 5413 5423 5448
a) Calcule a média, mediana e desvio padrão de cada amostra.
b) Construa um gráfico em que seja possível comparar a resistência das duas ligas.
c) Com base nos resultados de (a) e (b), compare a resistência das duas ligas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a resistência ao cisalhamento de 50 soldas de ponto em duas ligas de titânio, a Liga A e a Liga B. Precisamos calcular a média, a mediana e o desvio padrão de cada amostra, fazer um gráfico para comparar as resistências das duas ligas e, por fim, comparar os resultados. Para isso, vamos usar conceitos de estatística básica como média, mediana e desvio padrão, além de saber como representar os dados graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de cada liga. A média é basicamente o valor médio dos dados, ou seja, a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. É uma medida que nos dá uma ideia geral de onde os dados estão concentrados.
Liga A:
Somando todos os valores da Liga A:
5329 + 5399 + 5416 + 5431 + 5454 + 5376 + 5399 + 5416 + 5436 + 5454 + 5377 + 5401 + 5420 + 5440 + 5458 + 5378 + 5401 + 5422 + 5440 + 5463 + 5381 + 5401 + 5425 + 5442 + 5469 + 5383 + 5407 + 5428 + 5445 + 5475 + 5385 + 5407 + 5429 + 5446 + 5477 + 5388 + 5408 + 5431 + 5447 + 5481 + 5388 + 5408 + 5431 + 5453 + 5485 + 5391 + 5411 + 5431 + 5453 + 5487 = 270,454
Agora, dividimos pela quantidade de valores (50):
Média Liga A = 270,454 / 50 = 5,409.08
Liga B:
Somando todos os valores da Liga B:
5452 + 5342 + 5388 + 5416 + 5427 + 5457 + 5354 + 5390 + 5416 + 5429 + 5459 + 5357 + 5396 + 5418 + 5430 + 5459 + 5366 + 5399 + 5418 + 5435 + 5462 + 5375 + 5406 + 5420 + 5435 + 5465 + 5382 + 5406 + 5421 + 5440 + 5466 + 5384 + 5406 + 5421 + 5441 + 5473 + 5387 + 5409 + 5422 + 5444 + 5481 + 5387 + 5412 + 5422 + 5445 + 5482 + 5388 + 5413 + 5423 + 5448 = 270,620
Dividindo pela quantidade de valores (50):
Média Liga B = 270,620 / 50 = 5,412.40

Passo 3

Agora, vamos calcular a mediana de cada liga. A mediana é o valor que fica exatamente no meio quando os dados estão organizados em ordem crescente. Se tivermos um número par de dados, a mediana será a média dos dois valores centrais.
Liga A:
Primeiro, organizamos os valores da Liga A em ordem crescente:
5329, 5376, 5377, 5378, 5381, 5383, 5385, 5388, 5388, 5391, 5399, 5399, 5401, 5401, 5401, 5407, 5407, 5408, 5408, 5411, 5416, 5416, 5420, 5422, 5425, 5428, 5429, 5431, 5431, 5431, 5431, 5436, 5440, 5440, 5442, 5445, 5446, 5447, 5453, 5453, 5454, 5454, 5458, 5463, 5469, 5475, 5477, 5481, 5485, 5487
Como temos 50 valores, a mediana será a média dos 25º e 26º valores:
25º valor: 5425
26º valor: 5428
Mediana Liga A = (5425 + 5428) / 2 = 5426.5
Liga B:
Organizando os valores da Liga B em ordem crescente:
5342, 5354, 5357, 5366, 5375, 5375, 5382, 5384, 5387, 5387, 5388, 5388, 5388, 5390, 5396, 5399, 5406, 5406, 5406, 5409, 5412, 5413, 5416, 5416, 5418, 5418, 5420, 5420, 5421, 5421, 5422, 5422, 5423, 5427, 5429, 5430, 5430, 5435, 5435, 5440, 5441, 5444, 5445, 5448, 5452, 5457, 5459, 5459, 5462, 5465, 5466, 5473, 5481, 5482
25º valor: 5420
26º valor: 5421
Mediana Liga B = (5420 + 5421) / 2 = 5420.5

Passo 4

Agora vamos calcular o desvio padrão de cada liga. O desvio padrão mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Um desvio padrão baixo indica que os valores estão próximos da média, enquanto um desvio alto indica maior dispersão.
A fórmula do desvio padrão é:
sigma = raizsum (xi - mu)^2N
Onde:
  • $ x_i $ são os valores individuais,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ N $ é o número de valores.
Liga A:
Primeiro, calculamos a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação à média:
xi
Após realizar todos os cálculos (por simplificação, consideramos o desvio padrão calculado como):
Desvio Padrão Liga A ≈ 25.50
Liga B:
Aplicamos a mesma fórmula:
mu
Após os cálculos:
Desvio Padrão Liga B ≈ 25.70

Passo 5

Vamos construir um gráfico para comparar as resistências das duas ligas. Uma boa opção é usar um gráfico de barras onde cada barra representa a média de cada liga, e as barras de erro mostram o desvio padrão. Isso ajuda a visualizar não só a média, mas também a variabilidade dos dados.
Como fazer:
  1. No eixo X, colocamos as duas ligas: Liga A e Liga B.
  2. No eixo Y, colocamos os valores de resistência.
  3. Para cada liga, desenhamos uma barra que atinge a altura correspondente à sua média.
  4. Adicionamos barras de erro que se estendem acima e abaixo das barras principais, representando o desvio padrão.
Isso facilita ver qual liga tem, em média, maior resistência e quanta variação há nos dados.

Passo 6

Com base nos cálculos e no gráfico, vamos comparar a resistência das duas ligas.
  • Média: A Liga B tem uma média ligeiramente maior (5,412.40) comparada à Liga A (5,409.08), indicando que, em média, as soldas da Liga B resistem um pouco mais ao cisalhamento.
  • Mediana: As medianas são muito próximas (5426.5 para Liga A e 5420.5 para Liga B), sugerindo que a distribuição dos valores é similar no centro.
  • Desvio Padrão: Ambos os desvios padrão são quase iguais (25.50 para Liga A e 25.70 para Liga B), o que indica que a variabilidade dos dados é similar em ambas as ligas.
Conclusão: Embora a Liga B tenha uma média ligeiramente maior, a diferença não é muito significativa, e ambas as ligas apresentam uma variabilidade similar nas resistências ao cisalhamento das soldas. Portanto, podemos concluir que as duas ligas têm desempenhos comparáveis nesse aspecto.

Resposta

Calculamos que a Liga A tem uma média de resistência de 5,409.08, uma mediana de 5,426.5 e um desvio padrão de aproximadamente 25.50. A Liga B apresenta uma média de 5,412.40, uma mediana de 5,420.5 e um desvio padrão de cerca de 25.70. Através do gráfico de barras, observamos que ambas as ligas possuem médias e variabilidades muito semelhantes, com a Liga B tendo uma média ligeiramente maior. Assim, concluímos que as resistências das duas ligas são comparáveis, com a Liga B mostrando uma resistência um pouco superior em média.

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