Seja
seja uma partição de
, e A um evento qualquer em
. Mostre que:
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: temos um espaço amostral Ω dividido em partes disjuntas
(ou seja, uma partição) e um evento qualquer
. Queremos mostrar a famosa fórmula de Bayes para partições:
Conteúdo: Probabilidade condicional e Lei da Probabilidade Total (ou Teorema de Bayes).
O que precisamos:
O que precisamos:
- Definição de
. - Expressar
usando a partição .
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de probabilidade condicional:
desde que
. Isso é meio óbvio: a gente “reduz” o espaço a
e pergunta qual a chance de
dentro dele.
Passo 3
Agora, a gente precisa escrever
de um jeito que envolva
. Pela definição de condicional (agora trocando os papéis de
e
):
Beleza, substituindo isso no numerador da fração de cima:
Passo 4
Falta só achar
em função dos pedaços da partição. A Lei da Probabilidade Total diz que, como os
formam uma partição de Ω, o evento
pode ser escrito como união disjunta de
. Então
Passo 5
Juntando tudo: