Seja C1, C2, ldots, Ck seja uma partição de Omega, e A um evento qualquer em Omega. Mostre que:
P(Cj mid A)=P(A mid Cj) P(Cj)sumi=1^k P(A mid Ci) P(Cj), j=1,2, ldots, k

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: temos um espaço amostral Ω dividido em partes disjuntas P(Cjmid A) ;=;P(Amid Cj),P(Cj)sumi=1^k P(Amid Ci),P(Ci),, j=1,ldots,k (ou seja, uma partição) e um evento qualquer . Queremos mostrar a famosa fórmula de Bayes para partições:
Conteúdo: Probabilidade condicional e Lei da Probabilidade Total (ou Teorema de Bayes).
O que precisamos:
  • Definição de .
  • Expressar usando a partição .

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de probabilidade condicional:
P(Cjmid A) ;=;P(Cjcap A)P(A),
desde que . Isso é meio óbvio: a gente “reduz” o espaço a e pergunta qual a chance de dentro dele.

Passo 3

Agora, a gente precisa escrever P(Amid Cj) ;=;P(Acap Cj)P(Cj) Longrightarrow P(Acap Cj) ;=;P(Amid Cj),P(Cj) de um jeito que envolva P(Cjmid A) =P(Acap Cj)P(A) =P(Amid Cj),P(Cj)P(A) . Pela definição de condicional (agora trocando os papéis de e ):
Beleza, substituindo isso no numerador da fração de cima:

Passo 4

Falta só achar P(A) =sumi=1^k P(Acap Ci) =sumi=1^k l[P(Amid Ci),P(Ci)r] em função dos pedaços da partição. A Lei da Probabilidade Total diz que, como os formam uma partição de Ω, o evento pode ser escrito como união disjunta de . Então

Passo 5

Juntando tudo:
P(Cjmid A) =P(Amid Cj),P(Cj)P(A) =P(Amid Cj),P(Cj)sumi=1^k P(Amid Ci),P(Ci)

Resposta

boxedP(Cjmid A)=P(Amid Cj),P(Cj)sumi=1^k P(Amid Ci),P(Ci), j=1,2,dots,k

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