Questão 2) (4) Um foguete é lançado verticalmente da superfície da Terra. Sua massa inicial total é \mathrm{m}_{0}=20.000 \mathrm{~kg}, sendo 15.000 kg de combustivel. O motor expulsa gases a uma velocidade relativa \mathrm{u}=1.500 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \mathrm{com} taxa de consumo de massa constante de 120 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A aceleração da gravidade é \mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e a resistência do ar é desprezada. A) Calcule o empuxo inicial do foguete. B) O foguete conseguirá decolar imediatamente após a ignição de seus motores? Caso não consiga, quanto tempo ele levará?

Passo 1

O enunciado trata de um foguete lançado verticalmente da Terra com massa inicial total de m_{0}=20\,000 kg (sendo 15\,000 kg de combustível), velocidade de exaustão u=1\,500 m/s e consumo de massa constante \dot m=120 kg/s. Desprezamos resistência do ar e temos g=9,8 m/ s^{2}. Precisamos (i) calcular o empuxo inicial T e (ii) verificar se T supera o peso P=m(t)g já no instante t=0; caso contrário, achar o tempo t em que T=P.

Passo 2

O empuxo de um foguete é dado pela equação
T = u\,\dot m
Substituindo u=1\,500 m/s e \dot m=120 kg/s, temos
T = 1\,500 \times 120 = 180\,000\\ \text{N}.

Passo 3

O peso inicial é
P(0) = m_{0}\,g = 20\,000 \times 9,8 = 196\,000\\ \text{N}.

Passo 4

Comparando T e P(0):
T = 180\,000\\ \text{N} < P(0)=196\,000\\ \text{N},
logo o foguete não decola imediatamente.

Passo 5

Para encontrar o instante t em que ele passa a decolar, impomos
T = P(t) = \bigl(m_{0}-\dot m\,t\bigr)\,g.
Isto é,
u\,\dot m = (m_{0}-\dot m\,t)\,g \quad\Longrightarrow\quad \dot m\,t = m_{0} - \frac{u\,\dot m}{g} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{m_{0} - \tfrac{u\,\dot m}{g}}{\dot m}.

Passo 6

Calculando
\frac{u\,\dot m}{g} = \frac{1\,500 \times 120}{9,8} \approx 1,8367\times10^4\\ \text{kg},
então
t = \frac{20\,000 - 1,8367\times10^4}{120} \approx \frac{1\,633}{120} \approx 13,6\\ \text{s}.

Resposta

A) T=1{,}8\times10^5\\ \text{N}.
B) Não decola de imediato, pois T<P(0). A decolagem ocorre após aproximadamente 13{,}6 s.

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