Questão 4(3,0). Foi medida a quantidade de gordura das refeições servidas em duas escolas (A e B) da rede municipal e os seguintes resultados foram observados:
& Escola A: barxA=238 calorias; sA^2=76,29 calorias ^2 ; nA=13 & Escola B barxB=215 calorias; sB^2=24,00 calorias ^2 ; nB=13
a) Verifique, utilizando um teste de hipótese ao nível de 5 % de significância, se as variâncias das escolas são homogêneas.
b) Construa o intervalo de confiança para a diferença entre as médias, ao nível de 99 %, e conclua se, em média, a quantidade de gordura das refeições difere entre as escolas. (indique pressuposições e redija a conclusão.)
c) Se você tivesse que fazer um teste de hipótese, ao nível de 1 % de significância, para comparar as médias das escolas, com base no resultado da letra b, você esperaria rejeitar H0 ? Por quê? (Responda sem fazer cálculos.)

Passo 1

O enunciado traz duas amostras independentes de calorias de gordura servida nas escolas A e B com nA=13, barxA=238, sA^2=76,29 e nB=13, barxB=215, sB^2=24,00. Vamos testar a homogeneidade de variâncias (parte a) usando o teste de Fisher e, em seguida, construir o intervalo de confiança para a diferença de médias ao nível de 99% (parte b). Por fim, responderemos qualitativamente à parte c).

Passo 2

Para testar se sigmaA^2=sigmaB^2 contra hipótese bilateral ao nível alpha=5%, usamos
F = sA^2sB^2 = 76,2924,00 approx 3,18,
com graus de liberdade (nu1,nu2)=(12,12). Os valores críticos para alpha/2=2,5% são
Flower=F0,025(12,12)=1F0,975(12,12)e Fupper=F0,975(12,12)approx3,23
Como 3,18<3,23 e 3,18>Flower, não rejeitamos H0.
Concluímos que, ao nível de 5%, não há evidência para dizer que as variâncias são diferentes, ou seja, podemos assumir variâncias homogêneas.

Passo 3

Para construir o intervalo de confiança de 99% para muA-muB assumindo variâncias iguais, calculamos a variância agrupada
sp^2 = (nA-1)sA^2 + (nB-1)sB^2nA+nB-2 = 12cdot76,29 + 12cdot24,0024 = 50,145,
logo spapprox7,085. O erro-padrão da diferença é
EP = spraiz1nA + 1nB = 7,085raiz113+113 approx2,78
O valor crítico da t-Student para 24 graus de liberdade e nível 99% (bilateral) é t0,995,24approx2,797. Então o IC é
(barxA-barxB) pm t0,995,24times EP = 23 pm 2,797times2,78 approx [15,23;,30,77]
Como o intervalo de confiança de 99% para muA-muB não contém zero e é totalmente positivo, concluímos que, em média, a quantidade de gordura é maior na escola A do que na B.

Passo 4

Para um teste ao nível de 1% de significância comparando as médias, esperaríamos rejeitar H0 de igualdade de médias, pois o IC de 99% não inclui zero, o que indica diferença altamente significativa.

Resposta

(a) F=3,18, com Fupperapprox3,23; não rejeitamos H0, logo variâncias homogêneas.
(b) Intervalo de confiança de 99% para muA-muB: [15,23;,30,77]. Como não inclui zero, a média de gordura difere (maior em A).
(c) Sim, rejeitaríamos H0 ao nível de 1%, pois o IC de 99% exclui zero, indicando diferença significativa.

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