QUESTÃO 4
Fonte:
Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 5, p. 242, questão 86.
Enunciado
Demonstre que
se e somente se u e v têm a mesma direção.
| QUESTÃO 4 | |
| Fonte: | Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 5, p. 242, questão 86. |
| Enunciado | Demonstre que
|
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência lógica entre duas afirmações sobre dois vetores
e
:
- Afirmação A:
. - Afirmação B:
e têm a mesma direção.
Informações/observações que nos dão e que vamos usar:
-
indica a norma (comprimento) do vetor . -
indica o produto interno entre e . - Aqui, por “mesma direção” vamos entender que existe um escalar
não negativo tal que . Isso inclui o caso (tomando ), que é conveniente para a prova e comum em exercícios deste tipo.
A resolução seguirá mostrando os dois sentidos da equivalência:e .
Passo 2
Primeiro vamos manipular a igualdade de normas. Se assumirmos
, elevamos ambos os lados ao quadrado — isto é permitido porque ambos os lados são não negativos — e comparamos as duas expressões quadráticas.
Expansão da norma ao quadrado (identidade básica do produto interno):
Expansão do quadrado do lado direito:
Como os dois lados são iguais, subtraindo
de ambos, obtemos
e, portanto,
Passo 3
Agora precisamos interpretar a igualdade
. Para isso usamos o Desigualdade de Cauchy–Schwarz, que é uma ferramenta fundamental e tem a seguinte forma:
Teorema (Cauchy–Schwarz). Para quaisquer vetores
e
vale
Além disso, há igualdade se e somente se
e
são linearmente dependentes (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
Vou demonstrar rapidamente a prova padrão e também explicar a condição de igualdade, para você entender bem esse trecho.
Considere a função do escalar :
Considere a função do escalar
Como
para todo
, o polinômio quadrático em
nunca tem valores negativos, logo seu discriminante é não positivo. O discriminante é
daqui segue
, que é a desigualdade de Cauchy–Schwarz escrita ao quadrado. Tomando raiz (e lembrando dos sinais), obtemos
.
Sobre a igualdade:
se e somente se o polinômio tem uma única raiz, o que equivale a existir
tal que
, ou seja,
. Portanto a igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre exatamente quando um vetor é múltiplo escalar do outro (linearmente dependentes).
Passo 4
Retornando ao que obtivemos no Passo 2, temos
. Aplicando Cauchy–Schwarz, essa igualdade só pode acontecer se
e
forem linearmente dependentes, isto é, existir um escalar
tal que
.
Além disso, note que
, logo
. Substituindo
na igualdade do produto interno:
Daqui segue
, ou seja,
. Portanto o múltiplo escalar que relaciona
a
é não negativo, e assim
com
. Isso significa exatamente que
e
têm a mesma direção segundo a nossa definição do Passo 1.
Com isso mostramos o sentido
: se
então
é múltiplo não negativo de
.
Passo 5
Ainda precisamos provar o sentido contrário
. Suponha agora que
e
têm a mesma direção, isto é, existe
tal que
.
Calcule diretamente:
Como
, temos
, então
Mas
(pois
), portanto
Isso prova o sentido
.
Passo 6
Vamos comentar os casos especiais (importante para provas e para a prova na faculdade):
- Se
ou , a igualdade vale trivialmente, e podemos escrever (ou ), encaixando esse caso na definição com . Portanto o caso nulo está coberto sem criar exceções. - Se
fosse múltiplo negativo de (isto é, com ), então e a igualdade não pode ocorrer, então a igualdade das normas não ocorreria; isso confirma a necessidade do sinal não negativo no múltiplo.
Passo 7
Como mostramos ambos os sentidos: de
obtemos
com
, e dado
com
obtemos
, concluímos a equivalência pedida.
Resposta
Existem
tais que
(i.e.,
e
são múltiplos escalares com coeficiente não negativo).