QUESTÃO 4
Fonte: Elementos de Álgebra Linear (2017) - Ron Larson, capítulo 5, p. 242, questão 86.
Enunciado Demonstre que \|u+v\|=\|u\|+\|v\| se e somente se u e v têm a mesma direção.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência lógica entre duas afirmações sobre dois vetores u e v:
  • Afirmação A: \|u+v\|=\|u\|+\|v\|.
  • Afirmação B: u e v têm a mesma direção.
Informações/observações que nos dão e que vamos usar:
  • \|x\| indica a norma (comprimento) do vetor x.
  • \langle u,v\rangle indica o produto interno entre u e v.
  • Aqui, por “mesma direção” vamos entender que existe um escalar \lambda não negativo tal que v=\lambda u. Isso inclui o caso v=0 (tomando \lambda=0), que é conveniente para a prova e comum em exercícios deste tipo.
    A resolução seguirá mostrando os dois sentidos da equivalência: \text{A}\Rightarrow\text{B} e \text{B}\Rightarrow\text{A}.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a igualdade de normas. Se assumirmos \|u+v\|=\|u\|+\|v\|, elevamos ambos os lados ao quadrado — isto é permitido porque ambos os lados são não negativos — e comparamos as duas expressões quadráticas.
Expansão da norma ao quadrado (identidade básica do produto interno):
\|u+v\|^2=\langle u+v,u+v\rangle=\|u\|^2+2\langle u,v\rangle+\|v\|^2.
Expansão do quadrado do lado direito:
(\|u\|+\|v\|)^2=\|u\|^2+2\|u\|\|v\|+\|v\|^2.
Como os dois lados são iguais, subtraindo \|u\|^2+\|v\|^2 de ambos, obtemos
2\langle u,v\rangle=2\|u\|\|v\|
e, portanto,
\langle u,v\rangle=\|u\|\|v\|.

Passo 3

Agora precisamos interpretar a igualdade \langle u,v\rangle=\|u\|\|v\|. Para isso usamos o Desigualdade de Cauchy–Schwarz, que é uma ferramenta fundamental e tem a seguinte forma:
Teorema (Cauchy–Schwarz). Para quaisquer vetores u e v vale
\langle u,v\rangle \le \|u\|\|v\|.
Além disso, há igualdade se e somente se u e v são linearmente dependentes (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
Vou demonstrar rapidamente a prova padrão e também explicar a condição de igualdade, para você entender bem esse trecho.
Considere a função do escalar t:
f(t)=\|u-tv\|^2=\langle u-tv,u-tv\rangle=\|u\|^2-2t\langle u,v\rangle+t^2\|v\|^2.
Como f(t)=\|u-tv\|^2\ge0 para todo t, o polinômio quadrático em t nunca tem valores negativos, logo seu discriminante é não positivo. O discriminante é
\Delta = (-2\langle u,v\rangle)^2 - 4\|v\|^2\|u\|^2 = 4\big(\langle u,v\rangle^2-\|u\|^2\|v\|^2\big)\le0,
daqui segue \langle u,v\rangle^2\le\|u\|^2\|v\|^2, que é a desigualdade de Cauchy–Schwarz escrita ao quadrado. Tomando raiz (e lembrando dos sinais), obtemos \langle u,v\rangle\le\|u\|\|v\|.
Sobre a igualdade: \Delta=0 se e somente se o polinômio tem uma única raiz, o que equivale a existir t tal que u-tv=0, ou seja, u=t v. Portanto a igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre exatamente quando um vetor é múltiplo escalar do outro (linearmente dependentes).

Passo 4

Retornando ao que obtivemos no Passo 2, temos \langle u,v\rangle=\|u\|\|v\|. Aplicando Cauchy–Schwarz, essa igualdade só pode acontecer se u e v forem linearmente dependentes, isto é, existir um escalar \alpha tal que v=\alpha u.
Além disso, note que \|u\|\|v\|\ge0, logo \langle u,v\rangle=\|u\|\|v\|\ge0. Substituindo v=\alpha u na igualdade do produto interno:
\langle u,\alpha u\rangle = \alpha\|u\|^2 = \|u\|\|v\| = \|u\|\cdot|\alpha|\|u\| = |\alpha|\|u\|^2.
Daqui segue \alpha=|\alpha|, ou seja, \alpha\ge0. Portanto o múltiplo escalar que relaciona v a u é não negativo, e assim v=\alpha u com \alpha\ge0. Isso significa exatamente que u e v têm a mesma direção segundo a nossa definição do Passo 1.
Com isso mostramos o sentido \text{A}\Rightarrow\text{B}: se \|u+v\|=\|u\|+\|v\| então v é múltiplo não negativo de u.

Passo 5

Ainda precisamos provar o sentido contrário \text{B}\Rightarrow\text{A}. Suponha agora que u e v têm a mesma direção, isto é, existe \lambda\ge0 tal que v=\lambda u.
Calcule diretamente:
\|u+v\|=\|u+\lambda u\|=\|(1+\lambda)u\|=|1+\lambda|\|u\|.
Como \lambda\ge0, temos |1+\lambda|=1+\lambda, então
\|u+v\|=(1+\lambda)\|u\|=\|u\|+\lambda\|u\|.
Mas \|v\|=\|\lambda u\|=|\lambda|\|u\|=\lambda\|u\| (pois \lambda\ge0), portanto
\|u+v\|=\|u\|+\|v\|.
Isso prova o sentido \text{B}\Rightarrow\text{A}.

Passo 6

Vamos comentar os casos especiais (importante para provas e para a prova na faculdade):
  • Se u=0 ou v=0, a igualdade \|u+v\|=\|u\|+\|v\| vale trivialmente, e podemos escrever v=0\cdot u (ou u=0\cdot v), encaixando esse caso na definição com \lambda=0. Portanto o caso nulo está coberto sem criar exceções.
  • Se v fosse múltiplo negativo de u (isto é, v=\mu u com \mu<0), então \langle u,v\rangle=\mu\|u\|^2<0 e a igualdade \langle u,v\rangle=\|u\|\|v\| não pode ocorrer, então a igualdade das normas não ocorreria; isso confirma a necessidade do sinal não negativo no múltiplo.

Passo 7

Como mostramos ambos os sentidos: de \|u+v\|=\|u\|+\|v\| obtemos v=\lambda u com \lambda\ge0, e dado v=\lambda u com \lambda\ge0 obtemos \|u+v\|=\|u\|+\|v\|, concluímos a equivalência pedida.

Resposta

Existem \lambda\ge0 tais que v=\lambda u (i.e., u e v são múltiplos escalares com coeficiente não negativo).

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