2 Questão - A força \vec{F}=(2,0 N) \hat{i}-(3,0 N) \hat{k} age sobre uma pedra cujo vetor posição é \vec{r}=(0,5 m) \hat{j}-(2,0 m) \hat{k} em relação à origem. Em termos dos vetores unitários, qual é o torque resultante a que a pedra está submetida (a) em relação à origem e (b) em relação ao ponto (2 m, 0,-3 m) ?
(Obs: Não esqueça as unidades de medida).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o torque resultante sobre a pedra em relação à origem;
  • (b) o torque resultante sobre a pedra em relação ao ponto (2\\ \text{m},\,0,\,-3\\ \text{m}).
As informações fornecidas (já escritas em componentes, estou pegando os valores do enunciado) são:
  • Força: \vec{F} = 2,0\,\hat{i} + 0,0\,\hat{j} - 3,0\,\hat{k}\\ \text{N}.
  • Posição da pedra em relação à origem: \vec{r} = 0,0\,\hat{i} + 0,5\,\hat{j} - 2,0\,\hat{k}\\ \text{m}.
  • Ponto de referência para (b): P=(2,0,\,-3,0)\\ \text{m}, ou seja o vetor posição desse ponto em relação à origem é \vec{r}_0 = 2,0\,\hat{i} + 0,0\,\hat{j} - 3,0\,\hat{k}\\ \text{m}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): o torque (momento) de uma força em relação a um ponto é o produto vetorial entre o vetor posição (daquele ponto até o ponto de aplicação da força) e a força. Em fórmulas:
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
Aqui:
  • \vec{\tau} tem unidades de \text{N}\cdot\text{m} (newton-metro).
  • O produto vetorial \times entre dois vetores em componentes pode ser calculado pela regra do determinante:
\vec{r}\times\vec{F}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[4pt] r_x & r_y & r_z \\[4pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Isso dá, componente a componente,
\begin{aligned} \tau_x &= r_y F_z - r_z F_y,\\[4pt] \tau_y &= r_z F_x - r_x F_z,\\[4pt] \tau_z &= r_x F_y - r_y F_x. \end{aligned}
Vou aplicar exatamente essas fórmulas, mostrando cada multiplicação para você poder reproduzir na prova sem calculadora.]

Passo 3

Cálculo do torque em relação à origem (parte a).
Primeiro escrevo os componentes que já listei:
\begin{aligned} r_x&=0,0\\ \text{m},& r_y&=0,5\\ \text{m},& r_z&=-2,0\\ \text{m},\\[4pt] F_x&=2,0\\ \text{N},& F_y&=0,0\\ \text{N},& F_z&=-3,0\\ \text{N}. \end{aligned}
Agora uso as fórmulas componentes:
Cálculo de \tau_x:
\tau_x = r_y F_z - r_z F_y = (0,5)(-3,0) - (-2,0)(0,0).
Avalio os termos:
(0,5)(-3,0) = -1,5,\qquad (-2,0)(0,0)=0.
Logo
\tau_x = -1,5\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Cálculo de \tau_y:
\tau_y = r_z F_x - r_x F_z = (-2,0)(2,0) - (0,0)(-3,0).
Avalio:
(-2,0)(2,0) = -4,0,\qquad (0,0)(-3,0)=0.
Logo
\tau_y = -4,0\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Cálculo de \tau_z:
\tau_z = r_x F_y - r_y F_x = (0,0)(0,0) - (0,5)(2,0).
Avalio:
(0,0)(0,0)=0,\qquad (0,5)(2,0)=1,0.
Logo
\tau_z = -1,0\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Portanto o torque em relação à origem é
\vec{\tau}_{\text{origem}} = -1,5\,\hat{i} - 4,0\,\hat{j} - 1,0\,\hat{k}\\ \text{N}\cdot\text{m}.]

Passo 4

Cálculo do torque em relação ao ponto P=(2,0,\,-3) (parte b).
Para calcular o torque em relação a P precisamos do vetor posição da pedra relativo a P:
\vec{r}' = \vec{r} - \vec{r}_0.
Substituo componentes (peguei \vec{r} e \vec{r}_0 do enunciado):
\begin{aligned} r'_x &= r_x - r_{0x} = 0,0 - 2,0 = -2,0\\ \text{m},\\[4pt] r'_y &= r_y - r_{0y} = 0,5 - 0,0 = 0,5\\ \text{m},\\[4pt] r'_z &= r_z - r_{0z} = -2,0 - (-3,0) = 1,0\\ \text{m}. \end{aligned}
Agora calculo \vec{\tau}_P=\vec{r}'\times\vec{F} usando as mesmas fórmulas:
Cálculo de \tau'_x:
\tau'_x = r'_y F_z - r'_z F_y = (0,5)(-3,0) - (1,0)(0,0).
Avalio:
(0,5)(-3,0) = -1,5,\qquad (1,0)(0,0)=0.
Logo
\tau'_x = -1,5\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Cálculo de \tau'_y:
\tau'_y = r'_z F_x - r'_x F_z = (1,0)(2,0) - (-2,0)(-3,0).
Avalio:
(1,0)(2,0)=2,0,\qquad (-2,0)(-3,0)=6,0.
Logo
\tau'_y = 2,0 - 6,0 = -4,0\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Cálculo de \tau'_z:
\tau'_z = r'_x F_y - r'_y F_x = (-2,0)(0,0) - (0,5)(2,0).
Avalio:
(-2,0)(0,0)=0,\qquad (0,5)(2,0)=1,0.
Logo
\tau'_z = -1,0\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Portanto
\vec{\tau}_{P} = -1,5\,\hat{i} - 4,0\,\hat{j} - 1,0\,\hat{k}\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Observação rápida (útil para a prova): os dois torques deram exatamente o mesmo vetor. Isso acontece porque o vetor posição do ponto P é \vec{r}_0 = 2,0\,\hat{i}+0,0\,\hat{j}-3,0\,\hat{k}, que é paralelo à força \vec{F}=2,0\,\hat{i}+0,0\,\hat{j}-3,0\,\hat{k}. Como \vec{r}_0\times\vec{F}=\vec{0}, tem-se \vec{\tau}_P=(\vec{r}-\vec{r}_0)\times\vec{F}=\vec{r}\times\vec{F}-\vec{r}_0\times\vec{F}=\vec{r}\times\vec{F}.]

Resposta

\vec{\tau}_{\text{origem}} = -1,5\,\hat{i} - 4,0\,\hat{j} - 1,0\,\hat{k}\\ \text{N}\cdot\text{m}
\vec{\tau}_{(2\,\text{m},0,-3\,\text{m})} = -1,5\,\hat{i} - 4,0\,\hat{j} - 1,0\,\hat{k}\\ \text{N}\cdot\text{m}

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