numa região do espaço onde existe um campo \vec{B} uniforme. Quando o fio está posicionado sobre eixo x, de forma que a corrente tenha o sentido positivo do eixo x, a força magnética sobre o fio é \vec{F}=3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}[N]. Posicionando o fio sobre eixo y, de forma que a corrente tenha o sentido positivo do eixo y, a força magnética sobre o fio será \vec{F}=-3 \hat{i}-2 \hat{k}[N]. Determine, na notação dos vetores unitários, o campo magnético existente na região.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Existe um campo magnético uniforme \vec{B} em uma região do espaço.
  • Quando o fio está sobre o eixo x com corrente no sentido positivo de x, a força magnética no fio é \vec{F}=3\hat{\jmath}+2\hat{k} (em newtons).
  • Quando o fio está sobre o eixo y com corrente no sentido positivo de y, a força magnética no fio é \vec{F}=-3\hat{\imath}-2\hat{k} (em newtons).
    O que se pede: determinar o vetor \vec{B} na notação dos vetores unitários.

Passo 2

Fórmula física que vamos usar e significado das quantidades:
\vec{F}=I\,\vec{\ell}\times\vec{B},
onde:
  • I é a corrente elétrica no fio (em ampère),
  • \vec{\ell} é o vetor comprimento do segmento de fio considerado: sua direção é a direção do fio (sentido da corrente) e seu módulo é o comprimento \ell do trecho.
  • \times é o produto vetorial (cross product), que dá um vetor perpendicular aos dois vetores envolvidos.
Breve aula sobre produto vetorial (didática):
  • Se \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\vec{u}\times\vec{v}=(u_y v_z - u_z v_y)\,\hat{\imath}+(u_z v_x - u_x v_z)\,\hat{\jmath}+(u_x v_y - u_y v_x)\,\hat{k}.
  • Exemplos simples com vetores unitários:
\hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k},\qquad \hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath},\qquad \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath},
e todo produto de um eixo com ele mesmo é zero: \hat{\imath}\times\hat{\imath}=0, etc.
  • Importante: o produto vetorial é linear em cada argumento e anticometívo: \vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}.

Passo 3

Observação prática: o problema não dá I nem \ell separadamente, mas a mesma corrente e o mesmo comprimento aparecem nas duas situações. Defino o escalar
k=I\ell,
que é conhecido não numericamente, mas é o mesmo nas duas medições. Vamos escrever as equações para os dois casos usando k.
Caso 1: fio ao longo de x com sentido +x. Então \vec{\ell}=\ell\hat{\imath} e
\vec{F}_x = k\,(\hat{\imath}\times\vec{B}).
Escrevendo \vec{B}=B_x\hat{\imath}+B_y\hat{\jmath}+B_z\hat{k} e calculando o produto:
\hat{\imath}\times\vec{B}=\hat{\imath}\times(B_x\hat{\imath}+B_y\hat{\jmath}+B_z\hat{k}) =-B_z\hat{\jmath}+B_y\hat{k}.
Portanto
\vec{F}_x = k(-B_z\hat{\jmath}+B_y\hat{k}).
Pelo enunciado \vec{F}_x=3\hat{\jmath}+2\hat{k}. Igualando componentes temos duas equações:
-kB_z=3,\qquad kB_y=2.

Passo 4

Caso 2: fio ao longo de y com sentido +y. Então \vec{\ell}=\ell\hat{\jmath} e
\vec{F}_y = k\,(\hat{\jmath}\times\vec{B}).
Calculando o produto:
\hat{\jmath}\times\vec{B}=\hat{\jmath}\times(B_x\hat{\imath}+B_y\hat{\jmath}+B_z\hat{k}) = B_z\hat{\imath}-B_x\hat{k}.
Logo
\vec{F}_y = k(B_z\hat{\imath}-B_x\hat{k}).
Pelo enunciado \vec{F}_y=-3\hat{\imath}-2\hat{k}. Igualando componentes obtemos:
kB_z=-3,\qquad -kB_x=-2.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema obtido:
Das equações envolvendo B_z:
-kB_z=3\quad\text{e}\quad kB_z=-3
são a mesma informação (consistência), que dá
B_z=-\dfrac{3}{k}.
Das outras equações:
kB_y=2\quad\Rightarrow\quad B_y=\dfrac{2}{k},
-kB_x=-2\quad\Rightarrow\quad B_x=\dfrac{2}{k}.

Passo 6

Portanto o campo magnético \vec{B} escrito em componentes é
\vec{B}=B_x\hat{\imath}+B_y\hat{\jmath}+B_z\hat{k} =\dfrac{2}{k}\hat{\imath}+\dfrac{2}{k}\hat{\jmath}-\dfrac{3}{k}\hat{k}.
Substituindo k=I\ell obtemos a resposta em termos de I e \ell:
\vec{B}=\dfrac{2\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-3\hat{k}}{I\ell}.

Resposta

\displaystyle \vec{B}=\dfrac{2\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-3\hat{k}}{I\ell}

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