numa região do espaço onde existe um campo
uniforme. Quando o fio está posicionado sobre eixo
, de forma que a corrente tenha o sentido positivo do eixo
, a força magnética sobre o fio é
. Posicionando o fio sobre eixo
, de forma que a corrente tenha o sentido positivo do eixo
, a força magnética sobre o fio será
. Determine, na notação dos vetores unitários, o campo magnético existente na região.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Existe um campo magnético uniforme
em uma região do espaço. - Quando o fio está sobre o eixo
com corrente no sentido positivo de , a força magnética no fio é (em newtons). - Quando o fio está sobre o eixo
com corrente no sentido positivo de , a força magnética no fio é (em newtons).
O que se pede: determinar o vetorna notação dos vetores unitários.
Passo 2
Fórmula física que vamos usar e significado das quantidades:
onde:
-
é a corrente elétrica no fio (em ampère), -
é o vetor comprimento do segmento de fio considerado: sua direção é a direção do fio (sentido da corrente) e seu módulo é o comprimento do trecho. -
é o produto vetorial (cross product), que dá um vetor perpendicular aos dois vetores envolvidos.
Breve aula sobre produto vetorial (didática):
- Se
e , então
- Exemplos simples com vetores unitários:
e todo produto de um eixo com ele mesmo é zero:
, etc.
- Importante: o produto vetorial é linear em cada argumento e anticometívo:
.
Passo 3
Observação prática: o problema não dá
nem
separadamente, mas a mesma corrente e o mesmo comprimento aparecem nas duas situações. Defino o escalar
que é conhecido não numericamente, mas é o mesmo nas duas medições. Vamos escrever as equações para os dois casos usando
.
Caso 1: fio ao longo de
com sentido
. Então
e
Escrevendo
e calculando o produto:
Portanto
Pelo enunciado
. Igualando componentes temos duas equações:
Passo 4
Caso 2: fio ao longo de
com sentido
. Então
e
Calculando o produto:
Logo
Pelo enunciado
. Igualando componentes obtemos:
Passo 5
Agora resolvemos o sistema obtido:
Das equações envolvendo :
Das equações envolvendo
são a mesma informação (consistência), que dá
Das outras equações:
Passo 6
Portanto o campo magnético
escrito em componentes é
Substituindo
obtemos a resposta em termos de
e
: