Questão 3-Forças inerciais (3,0 pontos):

Bloco 1: Considere S um referencial inercial fixo, com origem no centro da Terra e eixo z apontando para o norte e S’ um referencial que gira com a Terra. (a) Escreva a equação que representa a transformação de qualquer vetor de S’ para S. Utilize essa relação para obter a expressão da força de Coriolis que um corpo em S’ sente. Use u(t) para taxas de variação com o tempo relacionados com os referencias S e S’.
Bloco 2: Considere um corpo em movimento na superfície terrestre com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Admita a Terra como uma esfera rígida em rotação. Considerando \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{R}_{\mathrm{T}}=6400 \mathrm{~km} e \omega_{\text {Terra }}=7,3 \bullet 10^{-5} \mathrm{~s}^{-1}, onde o vetor \omega_{\mathrm{R}} está dirigido no sentido norte-sul. (a) Faça uma estimativa do máximo valor da relação entre a aceleração de Coriolis e g no equador e polos. (b) Admitindo que a velocidade do corpo é sempre tangente à superfície terrestre, para que direção o corpo é desviado pela força de Coriolis?

Passo 1

O enunciado trata de descrever a relação entre derivadas temporais de um vetor em dois referenciais — um inercial S e outro girante S' (referencial da Terra) — e, a partir daí, extrair a expressão da força de Coriolis que aparece em S'. Em seguida, pede-se uma estimativa numérica da razão entre a aceleração de Coriolis e g para um corpo que se move na superfície terrestre com velocidade 10,m/s, nos polos e no equador, e a direção do desvio que essa força produz.

Passo 2

Para um vetor genérico \vec A fixo num ponto, suas derivadas nos dois referenciais satisfazem
\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_S \;=\;\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{S'} \;+\;\boldsymbol{\omega}\times \vec A
em que \boldsymbol{\omega} é o vetor de rotação da Terra (constante). Aplicando essa fórmula a \vec r e depois derivando novamente, obtém-se para a aceleração
\vec a_S =\vec a_{S'} + 2\,\boldsymbol{\omega}\times \vec u_{S'} + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \vec r) + \dot{\boldsymbol{\omega}}\times\vec r.
Como \dot{\boldsymbol{\omega}}=0 (rotação uniforme) e usando m\vec a_S=\vec F_{\text{real}}, escrevemos em S'
m\vec a_{S'} = \vec F_{\text{real}} - 2m\,\boldsymbol{\omega}\times\vec u_{S'} - m\,\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \vec r).
Dessa forma, identifica-se a força de Coriolis que age em S':
\boxed{ \vec F_{\text{Cor}} = -\,2m\,\boldsymbol{\omega}\times \vec u_{S'} }.

Passo 3

Agora, para um corpo na superfície da Terra movendo-se com \|\vec u\|=10,m/s, temos
|\vec a_{\text{Cor}}| =\frac{\|\vec F_{\text{Cor}}\|}{m} =2\,\omega\,u\;\sin\varphi,
sendo \varphi a latitude e \omega=7{,}3\times10^{-5},s ^{-1}.
Calculamos a razão \displaystyle\frac{a_{\text{Cor}}}{g}:
\frac{a_{\text{Cor}}}{g} =\frac{2\,\omega\,u\,\sin\varphi}{g}.
No equador \varphi=0:
\frac{a_{\text{Cor}}}{g} =0.
Nos polos \varphi=90^\circ:
\frac{a_{\text{Cor}}}{g} =\frac{2\,(7{,}3\times10^{-5})\,(10)\,(1)}{9{,}8} \approx1{,}5\times10^{-4}.

Passo 4

Para mover-se tangencialmente à superfície, a Coriolis age perpendicular à velocidade, desviando o corpo para a direita da sua trajetória no hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul.

Resposta

(a) No equador \displaystyle\frac{a_{\text{Cor}}}{g}=0, nos polos \displaystyle\frac{a_{\text{Cor}}}{g}\approx1{,}5\times10^{-4}.
(b) O desvio é para a direita da trajetória no hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul.

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