Questão 18: Aplicando o raciocínio da Seç 13.7 (b), estime o ângulo de deflexão gravitacional \theta de um raio luminoso que, propagando-se no vácuo, tangencia um corpo esfericamente simétrico de raio R e massa M, percorrendo depois um trajeto de comprimento l \ll R (de tal forma que se possa desprezar a variação da aceleração da gravidade ao longo do percurso l para o qual a deflexão é calculada). Estime o valor de \theta para o Sol ( R=6,95 \times 10^{8} \mathrm{~m}, M \approx 1,99 \times 10^{30} \mathrm{~kg} ) e para l=104 \mathrm{~km}.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o ângulo de deflexão gravitacional \theta de um raio de luz que tangencia um corpo esfericamente simétrico (raio R, massa M) e depois percorre um trecho de comprimento l\ll R, de modo que a aceleração gravitacional possa ser tomada como constante. Vamos usar o modelo newtoniano em que a luz viaja à velocidade c e sofre uma pequena aceleração lateral g ao longo do tempo de trânsito t=l/c.

Passo 2

A aceleração gravitacional na superfície do corpo vale
g = \frac{G\,M}{R^2}
onde G é a constante gravitacional.

Passo 3

O tempo de viagem pelo trecho l é
t = \frac{l}{c}.
Em t, a luz adquire velocidade lateral v_{\perp}=g\,t. Como sua velocidade principal é c, o ângulo de deflexão, para \theta\ll1, é
\theta \approx \frac{v_{\perp}}{c} = \frac{g\,t}{c} = \frac{GM}{R^2}\,\frac{l}{c}\,\frac{1}{c} = \frac{G\,M\,l}{R^2\,c^2}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos
G = 6{,}67\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}},\quad M = 1{,}99\times10^{30}\,\mathrm{kg},
R = 6{,}95\times10^{8}\,\mathrm{m},\quad l = 10^{4}\,\mathrm{km} = 1{,}0\times10^{7}\,\mathrm{m},\quad c = 3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s},
temos
\theta \approx \frac{6{,}67\times10^{-11}\;\cdot\;1{,}99\times10^{30}\;\cdot\;1{,}0\times10^{7}} {(6{,}95\times10^{8})^2\;(3{,}0\times10^{8})^2} \approx 3{,}0\times10^{-8}\,\mathrm{rad}.

Passo 5

Para converter em segundos de arco usamos 1\,\mathrm{rad}=206265\,\mathrm{arcsec}, logo
\theta \approx 3{,}0\times10^{-8}\times206265 \approx 6{,}2\times10^{-3}\,\text{arcsec}.

Resposta

\theta \approx 3{,}0\times10^{-8}\,\mathrm{rad}\approx6{,}2\times10^{-3}\,\text{arcsec}.

Exercícios relacionados