Ex-06 Um fio condutor retilíneo infinito conduz uma corrente I_{1} ao longo do eixo-z. Uma espira circular de raio R , com corrente I_{2}, está no plano xy, centrada no ponto (a, 0,0 ). Utilizando a força d \vec{F}=I d \vec{L} \times \vec{B} e o campo gerado pelo fio infinito, calcule a força total sobre espira. Discuta se há componentes de força resultante e/ou torque.

Passo 1

O enunciado pede a força total sobre uma espira circular de raio R, centrada em (a,0,0) no plano xy, que carrega corrente I_{2}, devido ao campo magnético gerado por um fio retilíneo infinito ao longo do eixo z com corrente I_{1}.
Conteúdo: magnetostática – uso de
d\vec F = I_{2}\,d\vec L \times \vec B
e expressão do campo de um fio infinito:
\vec B(\rho) = \frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi\,\rho}\,\hat\varphi,
onde \rho é a distância ao fio.

Passo 2

Parametrizamos a espira por um ângulo \theta:
x(\theta)=a+R\cos\theta,\quad y(\theta)=R\sin\theta,\quad 0\le\theta<2\pi.
O elemento de comprimento é
d\vec L = \bigl(-R\sin\theta\,\hat i + R\cos\theta\,\hat j\bigr)\,d\theta.
Em cada ponto a distância ao fio é \rho=\sqrt{(a+R\cos\theta)^{2}+(R\sin\theta)^{2}}.

Passo 3

Escrevemos o campo no ponto (x,y,0) em componentes cartesianas:
\vec B = \frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi\,\rho^{2}} \bigl(-y\,\hat i + x\,\hat j\bigr).
Substituindo x=a+R\cos\theta e y=R\sin\theta, temos
B_{x} = -\frac{\mu_{0}I_{1}\,R\sin\theta}{2\pi\,\rho^{2}},\quad B_{y} = \frac{\mu_{0}I_{1}\,(a+R\cos\theta)}{2\pi\,\rho^{2}}.

Passo 4

O elemento de força é
d\vec F = I_{2}\,d\vec L\times\vec B.
Como d\vec L e \vec B estão no plano xy, a única componente não nula de d\vec F é z.
Em coordenadas:
dF_{z} = I_{2}\bigl(dL_{x}B_{y}-dL_{y}B_{x}\bigr).
Fazendo a integral em \theta\in[0,2\pi] mostra-se que todas as funções \sin\theta, \sin\theta\cos\theta etc. produzem integral nula. Logo
F_{z}=\int_{0}^{2\pi}dF_{z}=0,
e como as outras direções não aparecem,
\boxed{\vec F_{\rm total}=0.}

Passo 5

Agora o torque. Para um elemento,
d\boldsymbol\tau = \vec r\times d\vec F, \quad \vec r=(x,y,0).
Como d\vec F aponta em z, a integral dá componentes apenas em x e y. De fato, calculando detalhadamente, chega-se a
\boldsymbol\tau = \int \vec r\times d\vec F = -\,\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}R^{2}}{2a}\,\hat i.
Esse resultado coincide com
\boldsymbol\tau = \vec m \times \vec B_{\rm centro},
onde \vec m=I_{2}\pi R^{2}\,\hat k e \vec B_{\rm centro}=\frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi a}\,\hat j.

Resposta

A espira não sofre força líquida \vec F=0, mas há torque não nulo em torno do eixo x, de módulo
\tau = \frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}R^{2}}{2a},
no sentido de girar sua normal (eixo z) para se alinhar com o campo local.

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