Questão 1) (1,5) Considere o seguinte campo vetorial
G(x, y, z)=\left(2 x y, x^{2}+z \cos (y z), y \cos (y z)\right)
Verifique se o campo é conservativo e se o for, encontre uma função potencial.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
G(x,y,z)=\bigl(2xy,\;x^{2}+z\cos(yz),\;y\cos(yz)\bigr)
e pede para verificar se ele é conservativo (isto é, se existe \varphi tal que \nabla\varphi=G) e, em caso positivo, encontrar essa função potencial.

Passo 2

Escrevemos as componentes
P(x,y,z)=2xy,\quad Q(x,y,z)=x^{2}+z\cos(yz),\quad R(x,y,z)=y\cos(yz)
e lembramos o teste do rotor:
\nabla\times G= \Bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z},\; \tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x},\; \tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\Bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial R}{\partial y} =\cos(yz)-yz\sin(yz), \quad \frac{\partial Q}{\partial z} =\cos(yz)-yz\sin(yz),
\frac{\partial P}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=2x.
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\nabla\times G=(0,0,0),
o que mostra que G é conservativo em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Buscamos \varphi satisfazendo
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2xy.
Integrando em x,
\varphi(x,y,z) =\int 2xy\,dx =x^2y + h(y,z).

Passo 5

Derivamos em y e igualamos a Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =x^2 + \frac{\partial h}{\partial y} \overset!=x^2 + z\cos(yz),
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\frac{\partial h}{\partial y}=z\cos(yz) \quad\Longrightarrow\quad h(y,z)=\int z\cos(yz)\,dy =\sin(yz)+k(z).

Passo 6

Derivando em z e igualando a R:
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =y\cos(yz)+k'(z) \overset!=y\cos(yz),
o que implica k'(z)=0 e, portanto, k(z) é constante.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=x^2y+\sin(yz)+C.

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