Questão 1)
Considere o seguinte campo vetorial
Verifique se o campo é conservativo e se o for, encontre uma função potencial.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo (isto é, se existe
tal que
) e, em caso positivo, encontrar essa função potencial.
Passo 2
Escrevemos as componentes
e lembramos o teste do rotor:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
o que mostra que
é conservativo em
.
Passo 4
Buscamos
satisfazendo
Integrando em
,
Passo 5
Derivamos em
e igualamos a
:
logo
Passo 6
Derivando em
e igualando a
:
o que implica
e, portanto,
é constante.
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é