Questão 3. Determine o conjunto de pontos em que as funções abaixo são contínuas:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto de pontos em que a função
é contínua.
Informações dadas:
- A função é dada pela composição de uma função de uma variável real
com a função linear de três variáveis . - Não há restrição explícita no enunciado sobre
; portanto os candidatos naturais para domínio são todos os pontos .
A pergunta a responder é: para quais pontos
a função
é contínua?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de maneira simples): dizer que
é contínua num ponto
significa que, quando
se aproxima de
, os valores
se aproximam de
. Em linguagem técnica isso é
Uma forma prática (útil na prova) é usar duas propriedades simples:
- Funções lineares e polinomiais em várias variáveis são contínuas em todo
. - Se
é contínua em e é contínua em com , então a composição é contínua em .
Vou aplicar essas ideias à nossa
.
Passo 3
Mostrar que a função linear
é contínua em todo ponto de
.
Explicação detalhada e prática (como fazer rápido na prova): para qualquer dois pontos
e
calcula-se a diferença
Usando a desigualdade triangular obtemos
Se usarmos a norma euclidiana
então cada termo absoluto é menor ou igual a
, logo
Isto mostra que
é Lipschitz com constante
, portanto é contínua em todo
. (Na prova dá para dizer simplesmente “é linear, logo contínua”, mas este cálculo é bom para justificar com detalhe.)
Passo 4
Mostrar que a função
é contínua em todo
.
Explicação didática: a função
(arco-tangente) tem derivada
que existe para todo
. Sempre que uma função tem derivada num ponto ela é contínua nesse ponto; como a derivada existe em todos os reais,
é contínua em todo
.
Além disso, pela desigualdade do valor médio (Teorema do Valor Médio), para quaisquer
existe
entre
e
tal que
Como
, obtemos a estimativa útil
Isto mostra que
é 1-Lipschitz e, em particular, contínua em todo
.
Passo 5
Aplicar a propriedade da composição:
.
Como já mostramos que
é contínua em todo
e
é contínua em todo
, a composição
é contínua em todo ponto de
. Isto resolve o problema de forma conceitual.
Passo 6
Prova epsilon–delta concreta (útil para a prova, mostra detalhe operacional): dado um ponto
e
, queremos
tal que
implique
.
Usando as desigualdades obtidas:
Portanto, basta escolher
Com essa escolha, se
então
. Isso mostra de forma direta e elementar que
é contínua em
. Como
era arbitrário,
é contínua em todo
.