Questão 3. Determine o conjunto de pontos em que as funções abaixo são contínuas:
f(x, y, z)=\operatorname{arctg}(x+2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto de pontos em que a função
f(x,y,z)=\operatorname{arctg}(x+2y+3z) é contínua.
Informações dadas:
  • A função é dada pela composição de uma função de uma variável real \operatorname{arctg}(\cdot) com a função linear de três variáveis x+2y+3z.
  • Não há restrição explícita no enunciado sobre x,y,z; portanto os candidatos naturais para domínio são todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
A pergunta a responder é: para quais pontos (x,y,z) a função f é contínua?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de maneira simples): dizer que f é contínua num ponto (x_0,y_0,z_0) significa que, quando (x,y,z) se aproxima de (x_0,y_0,z_0), os valores f(x,y,z) se aproximam de f(x_0,y_0,z_0). Em linguagem técnica isso é
\lim_{(x,y,z)\to(x_0,y_0,z_0)} f(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0).
Uma forma prática (útil na prova) é usar duas propriedades simples:
  1. Funções lineares e polinomiais em várias variáveis são contínuas em todo \mathbb{R}^n.
  2. Se h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em u_0 e g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é contínua em (x_0,y_0,z_0) com g(x_0,y_0,z_0)=u_0, então a composição h\circ g é contínua em (x_0,y_0,z_0).
Vou aplicar essas ideias à nossa f.

Passo 3

Mostrar que a função linear
g(x,y,z)=x+2y+3z
é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^3.
Explicação detalhada e prática (como fazer rápido na prova): para qualquer dois pontos p=(x,y,z) e p_0=(x_0,y_0,z_0) calcula-se a diferença
|g(p)-g(p_0)| = |(x-x_0)+2(y-y_0)+3(z-z_0)|.
Usando a desigualdade triangular obtemos
|g(p)-g(p_0)| \le |x-x_0| + 2|y-y_0| + 3|z-z_0|.
Se usarmos a norma euclidiana \|p-p_0\|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2} então cada termo absoluto é menor ou igual a \|p-p_0\|, logo
|g(p)-g(p_0)| \le (1+2+3)\|p-p_0\| = 6\|p-p_0\|.
Isto mostra que g é Lipschitz com constante 6, portanto é contínua em todo \mathbb{R}^3. (Na prova dá para dizer simplesmente “é linear, logo contínua”, mas este cálculo é bom para justificar com detalhe.)

Passo 4

Mostrar que a função \operatorname{arctg}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em todo \mathbb{R}.
Explicação didática: a função \operatorname{arctg}(u) (arco-tangente) tem derivada
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^2},
que existe para todo u\in\mathbb{R}. Sempre que uma função tem derivada num ponto ela é contínua nesse ponto; como a derivada existe em todos os reais, \operatorname{arctg} é contínua em todo \mathbb{R}.
Além disso, pela desigualdade do valor médio (Teorema do Valor Médio), para quaisquer a,b\in\mathbb{R} existe c entre a e b tal que
\operatorname{arctg}(a)-\operatorname{arctg}(b) = \frac{1}{1+c^2}\,(a-b).
Como 0<\dfrac{1}{1+c^2}\le 1, obtemos a estimativa útil
|\operatorname{arctg}(a)-\operatorname{arctg}(b)| \le |a-b|.
Isto mostra que \operatorname{arctg} é 1-Lipschitz e, em particular, contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Aplicar a propriedade da composição: f=\operatorname{arctg}\circ g.
Como já mostramos que g é contínua em todo \mathbb{R}^3 e \operatorname{arctg} é contínua em todo \mathbb{R}, a composição f é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^3. Isto resolve o problema de forma conceitual.

Passo 6

Prova epsilon–delta concreta (útil para a prova, mostra detalhe operacional): dado um ponto p_0\in\mathbb{R}^3 e \varepsilon>0, queremos \delta>0 tal que \|p-p_0\|<\delta implique |f(p)-f(p_0)|<\varepsilon.
Usando as desigualdades obtidas:
|f(p)-f(p_0)| = |\operatorname{arctg}(g(p))-\operatorname{arctg}(g(p_0))| \le |g(p)-g(p_0)| \le 6\|p-p_0\|.
Portanto, basta escolher
\delta=\frac{\varepsilon}{6}.
Com essa escolha, se \|p-p_0\|<\delta então |f(p)-f(p_0)|<6\delta=\varepsilon. Isso mostra de forma direta e elementar que f é contínua em p_0. Como p_0 era arbitrário, f é contínua em todo \mathbb{R}^3.

Resposta

\mathbb{R}^3

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