Questão 4
(3,0) A função de uma onda que viaja em uma corda tensionada é (em unidades do S.I.)
y(x, t)-0,350 sen(3 pi x-10 pi t+pi4)
  1. (1,0) Determine a função da velocidade e da aceleração transversal desta onda;
  2. (1,0) Determine o comprimento de onda, a frequência angular e a velocidade de propagação da onda.
  3. (1,0) Para o instante de tempo t=0, determine a posição vertical e a velocidade de oscilação de um ponto da corda localizado em x=0 e em x=2 / 3 m. O resultado encontrado é o esperado? justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
y(x,t)=0,350senl(3pi x-10pi t+tfracpi4r)
em uma corda. Pede-se:
  1. As funções da velocidade transversal vy e da aceleração transversal ay.
  2. O comprimento de onda lambda, a frequência angular omega e a velocidade de propagação v.
  3. Em t=0, os valores de y e de vy nos pontos x=0 e x=tfrac23, m, e se o resultado é esperado.

Passo 2

Para achar a velocidade e a aceleração transversais usamos derivadas parciais em relação a t.
A velocidade:
vy(x,t)=partial ypartial t =0,350cdotcos!l(3pi x-10pi t+tfracpi4r)cdotpartialpartial tl(3pi x-10pi t+tfracpi4r)
=;0,350cdotcos!l(3pi x-10pi t+tfracpi4r)cdot(-10pi) =-3,50pi;cos!l(3pi x-10pi t+tfracpi4r)
A aceleração:
ay(x,t)=partial^2 ypartial t^2 =partialpartial tl[-3,50picos(dots)r] =-3,50picdot(-sen(dots))cdot(-10pi) =-35pi^2;sen!l(3pi x-10pi t+tfracpi4r)

Passo 3

O argumento de fase é phi=3pi x-10pi t+tfracpi4. Comparando com phi=kx-omega t+phi0, obtemos
k=3pi,omega=10pi
O comprimento de onda
lambda=2pik=2pi3pi=tfrac23, m
A frequência angular já é omega=10pi, rad/s. A velocidade de propagação
v=omegak=10pi3pi=tfrac103,m/s

Passo 4

Em t=0 e x=0:
y(0,0)=0,350sen!l(tfracpi4r) =0,350cdotraiz22approx0,247, m,
vy(0,0)=-3,50picos!l(tfracpi4r) =-3,50picdotraiz22approx-7,78,m/s
Em t=0 e x=tfrac23:
3picdottfrac23=2piRightarrow phi=2pi+tfracpi4Rightarrow senphi=sen!l(tfracpi4r),; cosphi=cos!l(tfracpi4r)
Logo
yl(tfrac23,0r)=0,247, m, vyl(tfrac23,0r)=-7,78,m/s

Passo 5

Os resultados em x=0 e x=tfrac23 são iguais porque tfrac23, m é exatamente um comprimento de onda lambda, logo a fase da onda se repete.

Resposta

vy(x,t)=-3,50pi;cos!l(3pi x-10pi t+tfracpi4r), ay(x,t)=-35pi^2;sen!l(3pi x-10pi t+tfracpi4r)
lambda=tfrac23, m, omega=10pi, rad/s, v=tfrac103,m/s
3.
Em t=0:
y(0,0)=yl(tfrac23,0r)=0,247, m, vy(0,0)=vyl(tfrac23,0r)=-7,78,m/s
Sim, era esperado, pois x=tfrac23, m equivale a um deslocamento de uma onda inteira, repetindo fase e valores.

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