Sobre uma partícula age uma força dada por F=x^2 y x+y^2 x y (em Newtons). Calcule o trabalho realizado por esta força desde (0,0) até (1,1) (em metros) ao longo de uma reta y=x. Repita os cálculos e obtenha o trabalho realizado por esta força quando o caminho é uma parábola y=x^2.

Passo 1

O trabalho de uma força no plano é dado pela integral de linha
W = integralC Fcdot dr
Aqui temos
F(x,y)=x^2y,x+y^2x,y
e queremos o trabalho de (0,0) até (1,1) ao longo de dois caminhos: reta y=x e parábola y=x^2.

Passo 2

Para a reta y=x usamos a parametrização
r(t)=(t,t), 0<= t<=1.
Então
dr = x,dt + y,dt

Passo 3

Em r(t) temos
F(t,t)=t^2cdot t,x + t^2cdot t,y=t^3,x+t^3,y
Logo o produto escalar é
Fcdotdr = t^3,dt + t^3,dt =2t^3,dt
Integrando de 0 a 1,
Wreta =integral0^1 2t^3,dt =2t^44|0^1 =12

Passo 4

Para a parábola y=x^2 adotamos
r(t)=(t,t^2), 0<= t<=1.
Assim
dr = x,dt + 2t,y,dt

Passo 5

Em r(t) temos
F(t,t^2)=t^2cdot t^2,x+(t^2)^2cdot t,y =t^4,x+t^5,y
O produto escalar fica
Fcdotdr =t^4,dt + t^5cdot2t,dt =(t^4+2t^6),dt
Integrando de 0 a 1,
Wparábola =integral0^1 (t^4+2t^6),dt =[t^55+2t^77]0^1 =15+27 =1735 á

Resposta

Wreta = tfrac12 J
Wparábola = tfrac1735á J

Exercícios relacionados