Questão 1 A função x(t)=(9,8 \mathrm{~m}) \cos [(9 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}+\pi / 8 \mathrm{rad}] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. (a) (\mathbf{1}, \mathbf{0}) Calcule a velocidade v(t) e a aceleração a(t). (b) (1,0) Para t=2,5 \mathrm{~s}, calcule a fase do movimento, a velocidade v(2) e a aceleração a(2). (c) (\mathbf{1}, \mathbf{0}) Qual é a frequência e o período do movimento?

Passo 1

O enunciado dá x(t)=\bigl(9,8\text{ m}\bigr)\cos\bigl[(9\pi\text{ rad/s})\,t+\tfrac\pi8\text{ rad}\bigr]. É um movimento harmônico simples (MHS) de amplitude A=9,8 m, frequência angular \omega=9\pi rad/s e fase inicial \varphi_0=\pi/8 rad. Vamos (a) derivar para obter velocidade v(t) e aceleração a(t); (b) avaliar em t=2,5 s fase, velocidade e aceleração; (c) achar frequência f e período T.

Passo 2

Para MHS, v(t)=\dot x(t) e a(t)=\ddot x(t). Derivando
v(t)=-A\omega\,\sin\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr)
a(t)=-A\omega^2\cos\bigl(\omega t+\varphi_0\bigr).
Substituindo A=9,8, \omega=9\pi, \varphi_0=\tfrac\pi8:
v(t)=-9,8\,(9\pi)\,\sin\bigl(9\pi\,t+\tfrac\pi8\bigr),
a(t)=-9,8\,(9\pi)^2\cos\bigl(9\pi\,t+\tfrac\pi8\bigr).

Passo 3

Em t=2,5 s a fase é
\varphi=9\pi\cdot2,5+\tfrac\pi8=22,5\pi+\tfrac\pi8 = \tfrac{181}{8}\pi\text{ rad} \equiv5\tfrac{\pi}{8}\text{ rad}\pmod{2\pi}.
Então
v(2,5)=-9,8\,(9\pi)\,\sin\bigl(5\tfrac\pi8\bigr) \approx -9,8\cdot9\pi\cdot0,924\approx -256{,}4\text{ m/s},
a(2,5)=-9,8\,(9\pi)^2\cos\bigl(5\tfrac\pi8\bigr) \approx -9,8\cdot81\pi^2\cdot(-0,383)\approx+3004\text{ m/s}^2.

Passo 4

A frequência é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{9\pi}{2\pi}=4{,}5\text{ Hz},
e o período
T=\frac1f=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{9\pi}=\frac{2}{9}\text{ s}\approx0{,}222\text{ s}.

Resposta

(a)
v(t)=-9,8\,(9\pi)\,\sin\bigl(9\pi\,t+\tfrac\pi8\bigr),\quad a(t)=-9,8\,(9\pi)^2\cos\bigl(9\pi\,t+\tfrac\pi8\bigr).
(b) \varphi(2,5)=5\pi/8 rad, v(2,5)\approx -256{,}4 m/s, a(2,5)\approx+3004 m/s ^2.
(c) f=4,5 Hz, T=2/9\approx0,222 s.

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