Questão 2. Seja f uma função derivável com a propriedade que f(x)=f(1x) para todo x no domínio da f. Calcule o valor de f^prime(1).

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável e satisfaz
f(x)=f!l(tfrac1xr)
para todo x no domínio. Queremos f'(1). O conteúdo que vamos usar é a diferenciação de uma composição (regra da cadeia).

Passo 2

Diferenciando a identidade f(x)=f(1/x) em relação a x, obtemos
f'(x) = f'l(tfrac1xr)cdotddxl(tfrac1xr) = f'l(tfrac1xr)cdotl(-tfrac1x^2r)

Passo 3

Agora basta avaliar em x=1. Da fórmula acima segue
f'(1) = f'l(tfrac11r)cdotl(-tfrac11^2r) = f'(1)cdot(-1)
Logo,
f'(1)=-f'(1)Longrightarrow2,f'(1)=0Longrightarrow f'(1)=0

Resposta

f'(1)=0

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