Questão 2 - As funções f e g cujas leis de correspondência são \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{2}-1 \mathrm{e} \mathrm{g}(\mathrm{x})=(x+1) \cdot(x-1) são iguais? Justifique apresentando o domínio e a imagem das funções.

Passo 1

O enunciado define as funções f e g por
f(x)=x^{2}-1
e
g(x)=(x+1)\,(x-1).
O conteúdo é igualdade de funções: para provar que f e g são iguais, precisamos mostrar que elas têm o mesmo domínio e que, para todo x nesse domínio, f(x)=g(x). Além disso, vamos determinar a imagem de cada uma.

Passo 2

Como f e g são polinômios, não há restrição de divisão por zero ou raiz de número negativo. Logo, o domínio de ambas é
\mathrm{Dom}(f)=\mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para comparar as leis de correspondência, expandimos g(x):
g(x)=(x+1)(x-1)=x^{2}-1.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R}, vale
g(x)=x^{2}-1=f(x).

Passo 4

A imagem de f (e de g) vem da análise do polinômio quadrático x^{2}-1. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola tem concavidade para cima e mínimo em x=0, com valor
f(0)=0^{2}-1=-1.
Assim, à medida que x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty. Consequentemente,
\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(g)=[-1,\infty).

Resposta

As funções f e g são iguais porque têm o mesmo domínio \mathbb{R} e, para todo x\in\mathbb{R}, f(x)=g(x)=x^{2}-1. Além disso, ambas têm imagem [-1,\infty).

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