Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com \gamma=7 / 5, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até 3 / 4 do volume inicial V_{0}; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
e) Calcule a variação de energia interna no processo (i) + (ii).

Passo 1

O enunciado dá um mol de gás ideal com \gamma = 7/5. Condições iniciais:
  • pressão inicial P_0 = 1\\ \text{atm} (valor numérico em Pa não é necessário aqui);
  • temperatura inicial T_0 = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K};
  • volume inicial V_0;
  • número de mols n=1.
O gás passa por duas etapas de interesse:
(i) compressão isobárica até V_1 = \tfrac{3}{4}V_0 (pressão constante igual a P_0);
(ii) aquecimento a volume constante V_1 até a temperatura voltar a T_0.
A pergunta pedida é: calcular a variação da energia interna no processo (i) + (ii).

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura. Para n mols,
U = n C_V T,
onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante. Aqui:
  • U é a energia interna (em joules),
  • n é o número de mols,
  • C_V tem unidades \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura em kelvin.
Relação entre \gamma, C_P e C_V: \gamma = \dfrac{C_P}{C_V} e C_P - C_V = R, onde R é a constante dos gases. Isolando C_V fica
C_V = \frac{R}{\gamma-1}.
Aqui R \approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Substituindo \gamma = 7/5 (ou 1{,}4):
\gamma-1 = \frac{7}{5}-1=\frac{2}{5}=0{,}4,
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C_V = \frac{R}{0{,}4} = 2{,}5\,R.
Numericamente,
C_V = 2{,}5\times 8{,}314 \approx 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 3

Determinar a temperatura após a compressão isobárica (estado 1). Usando a lei dos gases ideais \,P V = n R T, com P constante igual a P_0,
T_1 = \frac{P_0 V_1}{nR} = \frac{P_0 \left(\tfrac{3}{4}V_0\right)}{nR} = \tfrac{3}{4}\,\frac{P_0 V_0}{nR} = \tfrac{3}{4}T_0.
Como T_0=300\\ \mathrm{K},
T_1 = \tfrac{3}{4}\times 300\\ \mathrm{K} = 225\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Determinar a temperatura após o aquecimento a volume constante (estado 2). O enunciado diz que o aquecimento continua até a temperatura voltar à inicial, portanto
T_2 = T_0 = 300\\ \mathrm{K},
e o volume permanece V_2=V_1=\tfrac{3}{4}V_0.

Passo 5

Calcular a variação de energia interna no conjunto (i)+(ii). Como U=nC_V T, a variação total desde o estado inicial (0) até o estado final (2) é
\Delta U_{0\to2} = n C_V (T_2 - T_0).
Substituindo T_2=T_0 temos imediatamente
\Delta U_{0\to2} = n C_V (T_0 - T_0)=0.
Para ficar mais claro (mostrando as variações separadas que se cancelam):
  • Variação na etapa (i):
\Delta U_{(i)} = n C_V (T_1 - T_0) = n C_V\left(\tfrac{3}{4}T_0 - T_0\right) = -\tfrac{1}{4}n C_V T_0.
  • Variação na etapa (ii):
\Delta U_{(ii)} = n C_V (T_2 - T_1) = n C_V\left(T_0 - \tfrac{3}{4}T_0\right) = +\tfrac{1}{4}n C_V T_0.
Esses dois termos se cancelam, resultando em \Delta U_{(i)}+\Delta U_{(ii)}=0.
Se quiser ver números: com n=1, C_V\approx 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T_0=300\\ \mathrm{K},
\Delta U_{(i)} \approx -\tfrac{1}{4}\times 1\times 20{,}785\times 300 \approx -1{,}559\\ \text{kJ},
\Delta U_{(ii)} \approx +1{,}559\\ \text{kJ},
soma zero.

Passo 6

Interpretação física curta e motivadora: a energia interna do gás ideal depende só da temperatura. Como o processo (i)+(ii) leva o gás de volta à temperatura inicial, a energia interna volta ao valor inicial — portanto a variação total é zero. Boa! Isso significa que, energeticamente, o que foi retirado por resfriamento na compressão foi devolvido no aquecimento a volume constante.

Resposta

0\\ \mathrm{J}

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