Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com
, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e
. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até
do volume inicial
; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
e) Calcule a variação de energia interna no processo (i) + (ii).
Passo 1
O enunciado dá um mol de gás ideal com
. Condições iniciais:
- pressão inicial
(valor numérico em Pa não é necessário aqui); - temperatura inicial
; - volume inicial
; - número de mols
.
O gás passa por duas etapas de interesse:
(i) compressão isobárica até (pressão constante igual a
);
(ii) aquecimento a volume constante até a temperatura voltar a
.
(i) compressão isobárica até
(ii) aquecimento a volume constante
A pergunta pedida é: calcular a variação da energia interna no processo (i) + (ii).
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar): para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura. Para
mols,
onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante. Aqui:
-
é a energia interna (em joules), -
é o número de mols, -
tem unidades , -
é a temperatura em kelvin.
Relação entre
,
e
:
e
, onde
é a constante dos gases. Isolando
fica
Aqui
. Substituindo
(ou
):
logo
Numericamente,
Passo 3
Determinar a temperatura após a compressão isobárica (estado 1). Usando a lei dos gases ideais
, com
constante igual a
,
Como
,
Passo 4
Determinar a temperatura após o aquecimento a volume constante (estado 2). O enunciado diz que o aquecimento continua até a temperatura voltar à inicial, portanto
e o volume permanece
.
Passo 5
Calcular a variação de energia interna no conjunto (i)+(ii). Como
, a variação total desde o estado inicial (0) até o estado final (2) é
Substituindo
temos imediatamente
Para ficar mais claro (mostrando as variações separadas que se cancelam):
- Variação na etapa (i):
- Variação na etapa (ii):
Esses dois termos se cancelam, resultando em
.
Se quiser ver números: com
,
e
,
soma zero.
Passo 6
Interpretação física curta e motivadora: a energia interna do gás ideal depende só da temperatura. Como o processo (i)+(ii) leva o gás de volta à temperatura inicial, a energia interna volta ao valor inicial — portanto a variação total é zero. Boa! Isso significa que, energeticamente, o que foi retirado por resfriamento na compressão foi devolvido no aquecimento a volume constante.