Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com \gamma=7 / 5, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até 3 / 4 do volume inicial V_{0}; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
d) Calcule as temperaturas máxima e mínima atingidas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do problema:
    • quantidade de gás: n=1 mol.
    • constante adiabática: \gamma=\dfrac{7}{5} (valor informado, mas pode ou não ser usado).
    • pressão inicial: P_0=1\\ \mathrm{atm}.
    • temperatura inicial: 27^\circ\mathrm{C}. Em Kelvin isso é \;T_0=27+273=300\\ \mathrm{K}.
    • volume inicial: V_0 (não é dado numericamente; vamos manipular em função de V_0).
  • Sequência de processos (descrita pelo enunciado):
    1. compressão isobárica (pressão constante) de V_0 até V_1=\dfrac{3}{4}V_0;
    2. aquecimento a volume constante ( V_1) até a temperatura voltar a T_0;
    3. expansão a pressão constante até o volume voltar a V_0;
    4. resfriamento a volume constante ( V_0) até a pressão voltar a P_0.
  • O que se pede:
    • calcular as temperaturas máxima e mínima atingidas ao longo desse ciclo.

Passo 2

Relembrando a lei do gás ideal e as consequênciais úteis para cada tipo de processo (aula rápida):
  • A lei dos gases ideais é
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases perfeitos e T a temperatura absoluta (em Kelvin).
  • Para um processo isobárico ( P= constante) temos PV=nRT\Rightarrow V\propto T. Logo, sob pressão constante, a temperatura é proporcional ao volume: se o volume é multiplicado por um fator k, a temperatura também é multiplicada por k.
  • Para um processo isocórico ( V= constante) temos PV=nRT\Rightarrow P\propto T. Logo, sob volume constante, a pressão é proporcional à temperatura.
Vou usar essas relações diretas (mais simples do que ficar trocando R e n) para cada trecho do ciclo.

Passo 3

Processo (i): compressão isobárica de V_0 até V_1=\dfrac{3}{4}V_0.
  • Como P é constante, usa-se T\propto V. Se a temperatura inicial é T_0 em volume V_0, a temperatura após compressão é
T_1 = T_0\cdot\frac{V_1}{V_0}.
  • Substituindo V_1=\dfrac{3}{4}V_0 e T_0=300\\ \mathrm{K}:
T_1 = 300\cdot\frac{3}{4}=300\cdot 0{,}75 = 225\\ \mathrm{K}.
  • Interpretação: a compressão isobárica reduziu a temperatura de 300\\ \mathrm{K} para 225\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Processo (ii): aquecimento a volume constante V_1 até a temperatura voltar a T_0.
  • O enunciado diz que o aquecimento termina quando a temperatura volta a T_0. Portanto
T_2 = T_0 = 300\\ \mathrm{K}.
  • Como V é constante, a pressão aumentará conforme P\propto T. Se a pressão imediatamente após (i) era P_1=P_0, então a nova pressão é
P_2 = P_1\cdot\frac{T_2}{T_1} = P_0\cdot\frac{300}{225} = P_0\cdot\frac{4}{3}.
  • Observação didática: aqui vimos que aquecendo a volume fixo a temperatura volta a T_0; a pressão acompanha esse aumento proporcionalmente.

Passo 5

Processo (iii): expansão a pressão constante até o volume voltar a V_0.
  • A pressão durante esta etapa é a da etapa anterior, P_2 = \dfrac{4}{3}P_0 (constante).
  • Como P é constante, novamente T\propto V. O volume vai de V_1=\dfrac{3}{4}V_0 para V_3=V_0. Assim a temperatura ao final desta expansão é
T_3 = T_2\cdot\frac{V_3}{V_1} = 300\cdot\frac{V_0}{\tfrac{3}{4}V_0} = 300\cdot\frac{1}{3/4} = 300\cdot\frac{4}{3}.
  • Calculando:
T_3 = 300\cdot\frac{4}{3} = 400\\ \mathrm{K}.
  • Interpretação: nesta expansão a temperatura sobe de 300\\ \mathrm{K} para 400\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Processo (iv): resfriamento a volume constante V_3=V_0 até a pressão voltar a P_0.
  • No início de (iv) a pressão é P_3=P_2=\dfrac{4}{3}P_0 e a temperatura é T_3=400\\ \mathrm{K}.
  • Como V é constante, P\propto T. Queremos o estado final com P_4=P_0. Assim
\frac{P_4}{P_3}=\frac{T_4}{T_3}\quad\Rightarrow\quad T_4 = T_3\cdot\frac{P_4}{P_3}.
  • Substituindo P_4=P_0 e P_3=\dfrac{4}{3}P_0:
T_4 = 400\cdot\frac{P_0}{\tfrac{4}{3}P_0}=400\cdot\frac{3}{4}=300\\ \mathrm{K}.
  • Observação: voltamos para a temperatura inicial, como esperado num ciclo fechado. Não há temperaturas menores que T_1 nem maiores que T_3 nos trechos descritos.

Passo 7

Identificação das temperaturas extremas e comentário sobre \gamma.
  • Das temperaturas calculadas:
    • T_1=225\\ \mathrm{K},
    • T_2=T_0=T_4=300\\ \mathrm{K},
    • T_3=400\\ \mathrm{K}.
  • Portanto a temperatura mínima é 225\\ \mathrm{K} e a máxima é 400\\ \mathrm{K}.
  • Comentário sobre \gamma: a constante adiabática \gamma não foi necessária para determinar as temperaturas máxima e mínima, porque nenhum dos quatro trechos do ciclo é adiabático — os passos são isobárico e isocórico apenas. Quando houver processos adiabáticos, aí sim \gamma entra nas relações PV^\gamma= const ou TV^{\gamma-1}= const.

Resposta

T_{\max}=400\\ \mathrm{K}=127^\circ\mathrm{C}
T_{\min}=225\\ \mathrm{K}=-48^\circ\mathrm{C}

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