Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com
, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e
. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até
do volume inicial
; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
d) Calcule as temperaturas máxima e mínima atingidas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados do problema:
- quantidade de gás:
mol. - constante adiabática:
(valor informado, mas pode ou não ser usado). - pressão inicial:
. - temperatura inicial:
. Em Kelvin isso é . - volume inicial:
(não é dado numericamente; vamos manipular em função de ).
- quantidade de gás:
- Sequência de processos (descrita pelo enunciado):
- compressão isobárica (pressão constante) de
até ; - aquecimento a volume constante (
) até a temperatura voltar a ; - expansão a pressão constante até o volume voltar a
; - resfriamento a volume constante (
) até a pressão voltar a .
- compressão isobárica (pressão constante) de
- O que se pede:
- calcular as temperaturas máxima e mínima atingidas ao longo desse ciclo.
Passo 2
Relembrando a lei do gás ideal e as consequênciais úteis para cada tipo de processo (aula rápida):
- A lei dos gases ideais é
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante dos gases perfeitos e
a temperatura absoluta (em Kelvin).
- Para um processo isobárico (
constante) temos . Logo, sob pressão constante, a temperatura é proporcional ao volume: se o volume é multiplicado por um fator , a temperatura também é multiplicada por . - Para um processo isocórico (
constante) temos . Logo, sob volume constante, a pressão é proporcional à temperatura.
Vou usar essas relações diretas (mais simples do que ficar trocando
e
) para cada trecho do ciclo.
Passo 3
Processo (i): compressão isobárica de
até
.
- Como
é constante, usa-se . Se a temperatura inicial é em volume , a temperatura após compressão é
- Substituindo
e :
- Interpretação: a compressão isobárica reduziu a temperatura de
para .
Passo 4
Processo (ii): aquecimento a volume constante
até a temperatura voltar a
.
- O enunciado diz que o aquecimento termina quando a temperatura volta a
. Portanto
- Como
é constante, a pressão aumentará conforme . Se a pressão imediatamente após (i) era , então a nova pressão é
- Observação didática: aqui vimos que aquecendo a volume fixo a temperatura volta a
; a pressão acompanha esse aumento proporcionalmente.
Passo 5
Processo (iii): expansão a pressão constante até o volume voltar a
.
- A pressão durante esta etapa é a da etapa anterior,
(constante). - Como
é constante, novamente . O volume vai de para . Assim a temperatura ao final desta expansão é
- Calculando:
- Interpretação: nesta expansão a temperatura sobe de
para .
Passo 6
Processo (iv): resfriamento a volume constante
até a pressão voltar a
.
- No início de (iv) a pressão é
e a temperatura é . - Como
é constante, . Queremos o estado final com . Assim
- Substituindo
e :
- Observação: voltamos para a temperatura inicial, como esperado num ciclo fechado. Não há temperaturas menores que
nem maiores que nos trechos descritos.
Passo 7
Identificação das temperaturas extremas e comentário sobre
.
- Das temperaturas calculadas:
-
, -
, -
.
-
- Portanto a temperatura mínima é
e a máxima é . - Comentário sobre
: a constante adiabática não foi necessária para determinar as temperaturas máxima e mínima, porque nenhum dos quatro trechos do ciclo é adiabático — os passos são isobárico e isocórico apenas. Quando houver processos adiabáticos, aí sim entra nas relações const ou const.