Questão 6 -

O gerente de uma indústria localizada em um país tropical suspeita que há uma correlação entre temperatura do dia e produtividade. Dados coletados aleatoriamente ao longo de um período de seis meses revelaram o seguinte:
Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Temperatura 21,2 20,3 22,7 22 22,3 23,5 24,8 24,2 25,5 25,2 25,5 25,8
Produtividade 142 148 131 132 145 138 144 136 141 124 133 128
Obs. 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Temperatura 27,5 26,3 28,2 28,6 29 29,7 30,7 30,3 30,2 31,4 32,5 32,7
Produtividade 132 137 124 117 122 131 124 111 119 129 123 116
a) Calcule o coeficiente de correlação entre temperatura e a produtividade e interprete-o
b) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o
c) Ajuste e interprete o modelo de regressão linear simples.

Passo 1

O gerente quer saber se existe relação linear entre a temperatura do dia (variável X) e a produtividade (variável Y). Para isso vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson, o coeficiente de determinação e ajustar um modelo de regressão linear simples. Precisamos dos seguintes somatórios sobre as n=24 observações: \displaystyle \sum x,\;\sum y,\;\sum x^{2},\;\sum y^{2},\;\sum xy.

Passo 2

Primeiro calculamos os somatórios (aproximados):
\sum x=640,1,\quad \sum y=3127,\quad \sum x^{2}=17380,57,\quad \sum y^{2}=409671,\quad \sum xy=82755,6.
O coeficiente de correlação é dado por
r=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)} {\sqrt{\bigl[n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}\bigr]\;\bigl[n\sum y^{2}-(\sum y)^{2}\bigr]}}.
Substituindo, obtemos
r=\frac{24\cdot82755,6 - 640,1\cdot3127} {\sqrt{\bigl(24\cdot17380,57-640,1^{2}\bigr)\,\bigl(24\cdot409671-3127^{2}\bigr)}} \approx -0,773.
Isso indica uma correlação negativa moderada a forte: à medida que a temperatura sobe, a produtividade tende a cair.

Passo 3

O coeficiente de determinação é
R^{2}=r^{2}\approx (-0,773)^{2}=0,598.
Isso significa que cerca de 59,8 % da variabilidade da produtividade é explicada pela variação da temperatura.

Passo 4

Para ajustar a reta de regressão \hat y = \beta_{0} + \beta_{1}x usamos
S_{xy}=\sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}\approx -644,09,\quad S_{xx}=\sum x^{2} - \frac{(\sum x)^{2}}{n}\approx 308,57,
\beta_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\approx -2,088,\qquad \beta_{0}=\bar y - \beta_{1}\,\bar x \approx 130,2917 -(-2,088)\cdot26,6708\approx186,015.
Logo o modelo ajustado é
\hat y = 186,015 \;-\;2,088\,x.
Interpretando: cada aumento de 1^\circC na temperatura reduz a produtividade em cerca de 2,088 unidades.

Resposta

(a) r\approx -0,773 (correlação negativa moderada a forte).
(b) R^{2}\approx0,598 (59,8 % da variabilidade explicada).
(c) \displaystyle \hat y=186,015-2,088\,x (slope negativo: produtividade cai com o aumento da temperatura).

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