Se a soma de três números x , y e z é 12, quais devem ser esses números para que o produto de x, y^2 e z^3 seja máximo possível?

Passo 1

O enunciado pede encontrar três números x,y,z com
x+y+z=12
de modo a maximizar o produto
P = x,y^2,z^3
O conteúdo que vamos usar é otimização de funções de várias variáveis com restrição, via multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para simplificar, em vez de trabalhar diretamente com P vamos maximizar o logaritmo
ln P = ln x + 2ln y + 3ln z,
pois ln é função estritamente crescente e preserva o ponto de máximo.

Passo 3

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=ln x + 2ln y + 3ln z ;-;lambda,(x+y+z-12)
As condições de otimalidade são
partialL/partial x=0, partialL/partial y=0, partialL/partial z=0 e a própria restrição x+y+z=12.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais e igualando a zero:
partialLpartial x=1x-lambda=0, partialLpartial y=2y-lambda=0, partialLpartial z=3z-lambda=0
Logo obtemos
1x=lambda, 2y=lambda, 3z=lambda ;Longrightarrow; x=1lambda,;y=2lambda,;z=3lambda

Passo 5

Impondo x+y+z=12
1+2+3lambda=12 ;Longrightarrow; lambda=612=tfrac12
Então
x=11/2=2, y=21/2=4, z=31/2=6

Resposta

x=2, y=4 e z=6.

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