Questão
. A Uniroyal Eletronics Company compra certas peças para seus refrigeradores da Bob’s Corporation. As peças são recebidas em remessas de 200 caixas, cada qual contendo 70 peças. O departamento de controle de qualidade da Uniroyal Eletronics Company seleciona uma caixa de cada remessa, e em seguida seleciona três peças (sem reposição) daquela caixa. A remessa é aceita se nenhuma das três peças da caixa estiver defeituosa. Supondo que a caixa escolhida contenha oito peças defeituosas e a variável
é definida como o número de peças defeituosas entre as três escolhidas:
a)
determine o espaço amostral, os parâmetros e a função de probabilidade de
(representação analítica);
b)
calcule a probabilidade de que essa remessa seja aceita.
c)
Indique a distribuição de probabilidade referente a cada peça escolhida (espaço amostral e parâmetro).
d)
Em determinadas circunstâncias algumas distribuições podem se aproximar de outras. Neste caso, a distribuição da variável
se aproxima de alguma outra distribuição? Por quê? Se sim, especifique os parâmetros e a função de probabilidade (representação analítica) da distribuição aproximada. Por aproximação, calcule a probabilidade de que a remessa seja aceita e compare com o resultado da letra b.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma caixa com
peças, das quais
são defeituosas. Selecionamos
peças sem reposição e definimos
como o número de peças defeituosas entre as três. O conteúdo é distribuição hipergeométrica, pois contamos o número de sucessos (peças defeituosas) numa amostra sem reposição.
Passo 2
O espaço amostral de
é
Os parâmetros são: tamanho da população
, número de sucessos na população
e tamanho da amostra
. A função de probabilidade é a hipergeométrica:
Passo 3
A remessa é aceita se não houver nenhuma peça defeituosa, isto é
. Logo,
Calculando:
portanto
Passo 4
Cada peça individualmente pode ser vista como uma variável aleatória que indica defeito (sucesso) ou não defeito (falha). O espaço amostral é
e a distribuição é Bernoulli com parâmetro
isto é
Passo 5
Como o tamanho da amostra
é pequeno em relação à população
, a hipergeométrica pode ser aproximada por uma binomial de parâmetros
e
. A função de probabilidade aproximada é
Para
:
Comparando com o exato
, vemos que a aproximação binomial é bastante próxima.
Resposta
a) Espaço amostral
, parâmetros
,
,
e
b)
c) Cada peça é Bernoulli com
d) Aproxima-se por
com
Para
,
que é muito próximo de
.