Questão 5(2,0). A Uniroyal Eletronics Company compra certas peças para seus refrigeradores da Bob’s Corporation. As peças são recebidas em remessas de 200 caixas, cada qual contendo 70 peças. O departamento de controle de qualidade da Uniroyal Eletronics Company seleciona uma caixa de cada remessa, e em seguida seleciona três peças (sem reposição) daquela caixa. A remessa é aceita se nenhuma das três peças da caixa estiver defeituosa. Supondo que a caixa escolhida contenha oito peças defeituosas e a variável X é definida como o número de peças defeituosas entre as três escolhidas:
a) (0,6) determine o espaço amostral, os parâmetros e a função de probabilidade de X (representação analítica);
b) (0,4) calcule a probabilidade de que essa remessa seja aceita.
c) (0,4) Indique a distribuição de probabilidade referente a cada peça escolhida (espaço amostral e parâmetro).
d) (0,6) Em determinadas circunstâncias algumas distribuições podem se aproximar de outras. Neste caso, a distribuição da variável X se aproxima de alguma outra distribuição? Por quê? Se sim, especifique os parâmetros e a função de probabilidade (representação analítica) da distribuição aproximada. Por aproximação, calcule a probabilidade de que a remessa seja aceita e compare com o resultado da letra b.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma caixa com 70 peças, das quais 8 são defeituosas. Selecionamos 3 peças sem reposição e definimos X como o número de peças defeituosas entre as três. O conteúdo é distribuição hipergeométrica, pois contamos o número de sucessos (peças defeituosas) numa amostra sem reposição.

Passo 2

O espaço amostral de X é
0,1,2,3
Os parâmetros são: tamanho da população N=70, número de sucessos na população K=8 e tamanho da amostra n=3. A função de probabilidade é a hipergeométrica:
P(X=k) =binom8k,binom70-83-kbinom703, kin0,1,2,3

Passo 3

A remessa é aceita se não houver nenhuma peça defeituosa, isto é X=0. Logo,
P(aceita) =P(X=0) =binom80,binom623binom703 =1cdotbinom623binom703
Calculando:
binom623=62cdot61cdot606=37820, binom703=70cdot69cdot686=54740,
portanto
P(aceita)=3782054740approx0,691

Passo 4

Cada peça individualmente pode ser vista como uma variável aleatória que indica defeito (sucesso) ou não defeito (falha). O espaço amostral é
,defeituosa,;não defeituosa, ã
e a distribuição é Bernoulli com parâmetro
p=870,
isto é
P(defeituosa)=870, P(não defeituosa)=6270 ã

Passo 5

Como o tamanho da amostra n=3 é pequeno em relação à população N=70, a hipergeométrica pode ser aproximada por uma binomial de parâmetros n=3 e p=8/70. A função de probabilidade aproximada é
Pbin(X=k) =binom3k,p^k,(1-p)^3-k, p=870
Para X=0:
Pbin(0)=(1-p)^3 =l(1-870r)^3 =l(6270r)^3 approx0,695
Comparando com o exato 0,691, vemos que a aproximação binomial é bastante próxima.

Resposta

a) Espaço amostral 0,1,2,3, parâmetros N=70, K=8, n=3 e
P(X=k) =binom8k,binom623-kbinom703, k=0,1,2,3
b)
P(aceita)=P(X=0) =binom623binom703 approx0,691
c) Cada peça é Bernoulli com
Omega=defeituosa,não defeituosa, p=P(defeituosa)=870 ã
d) Aproxima-se por Binomial(n=3,p=8/70) com
Pbin(X=k) =binom3kl(870r)^k l(1-870r)^3-k
Para X=0,
Pbin(0) =l(6270r)^3 approx0,695,
que é muito próximo de 0,691.

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