Questão 1:
Uma haste fina e reta (não condutora) de comprimento
está na horizontal e possui uma carga negativa
distribuída de maneira não uniforme ao longo de seu comprimento. Determine o vetor campo elétrico produzido em um ponto situado ao longo da horizontal a uma distância
da lateral direita da haste.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste fina e reta, com comprimento $ L $, que está na horizontal. Essa haste tem uma carga negativa total de $ -q
\vec{E} $) em um ponto que está também na horizontal, a uma distância $ a $ da extremidade direita da haste.
Aqui, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga contínua. Vamos precisar usar integração para somar os pequenos contribuintes do campo elétrico ao longo da haste.
Passo 2
Primeiro, vamos definir um elemento infinitesimal de carga na haste. Como a carga não está distribuída uniformemente, a densidade de carga linear ($ \lambda $) pode variar ao longo da haste. Vamos chamar a posição ao longo da haste de $ x $, medindo a partir da extremidade direita.
Então, a carga infinitesimal $ dq $ em um pequeno segmento $ dx $ é dada por:
Passo 3
Agora, para achar o campo elétrico produzido por esse $ dq $ no ponto P (a distância $ a $ da extremidade direita), usamos a lei de Coulomb para o campo elétrico:
Onde:
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ r $ é a distância entre $ dq $ e o ponto P,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{E} $.
No nosso caso, $ r = a + x $, já que $ x $ é a distância a partir da extremidade direita.
Passo 4
Como a haste está na horizontal e o ponto P também está na horizontal, o vetor campo elétrico devido a cada elemento $ dq $ também estará na horizontal. Assim, podemos simplificar a expressão do campo elétrico sem nos preocupar com componentes vetoriais.
Substituindo $ r = a + x $ na expressão de $ dE $:
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico total $ E $ no ponto P, integramos $ dE $ ao longo de todo o comprimento da haste, de $ x = 0 $ até $ x = L $:
Passo 6
Como a distribuição de carga é não uniforme e não foi dada uma expressão específica para $ \lambda(x) $, vamos assumir que ela é geral. Assim, a expressão final para o campo elétrico fica:
Onde $ \hat{i} $ indica que o campo está na direção horizontal.
Resposta
O vetor campo elétrico no ponto situado a uma distância $ a $ da extremidade direita da haste é dado por: