A lei da gravidade de Newton pode ser escrita como F=G m1 m2 / R^2, onde m1 e m2 são massas pontuais separadas por uma distância R e G é a constante gravitacional 6,664 times 10^-11 m^3 / kg s^2.
(a) Duas partículas, cada uma tendo uma massa de 10 mu g (microgramas), estão separadas de 1 cm . Encontre a força gravitacional de atração. (b) Quantos elétrons são necessários adicionar a cada partícula de modo a equilibrar a força gravitacional? (Dado: e=1,602 times 10^-19 C)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que duas partículas de massa 10 mug (microgramas) estão a 1 cm de distância e pede:
(a) calcular a força gravitacional entre elas usando a lei de Newton F = G,m1,m2R^2,, G = 6,664times10^-11,m^3/(kg,s^2),
(b) descobrir quantos elétrons a mais eu teria que colocar em cada partícula para que a força de repulsão elétrica (lei de Coulomb) fique igual àquela força gravitacional. Vou usar também a lei de Coulomb
Fe = k,q^2R^2,, k = 14pivarepsilon0approx8,99times10^9,N,m^2/C^2,
e a carga do elétron e=1,602times10^-19,C.

Passo 2

Primeiro, converte unidades:
  • Massa: 10 mug=10times10^-6,g=10^-5,g=10^-8,kg.
  • Distância: 1 cm=0,01 m.
Agora aplica a lei de Newton:
Fg = G,m1,m2R^2 =6,664times10^-11,(10^-8)(10^-8)(0,01)^2 =6,664times10^-11,10^-1610^-4 =6,664times10^-11times10^-12 =6,664times10^-23,N

Passo 3

Agora queremos que a força elétrica de repulsão seja igual a Fg.
A lei de Coulomb dá
Fe = k,q^2R^2stackrel!=Fg
Isolando q:
$$q^2 = \frac{F_g,R^2}{k}
\quad\Longrightarrow\quad
q = \sqrt{\frac{F_g,R^2}{k}}. q^2 = Fg,R^2k Longrightarrow q = raizFg,R^2kq = \sqrt{\frac{6{,}664\times10{-23}\times(0{,}01)2}{8{,}99\times10^9}}
= \sqrt{\frac{6{,}664\times10{-23}\times10{-4}}{8{,}99\times10^9}}
= \sqrt{7{,}41\times10^{-37}}
\approx8{,}61\times10^{-19},\mathrm{C}.$$

Passo 4

Pra saber quantos elétrons isso representa, divido pela carga unitária do elétron:
N = qe = 8,61times10^-191,602times10^-19approx5,38
Como não dá pra ter “0,38” de elétron, arredondo para 6 elétrons (em cada partícula).

Resposta

(a) Fg = 6,664times10^-23,N.
(b) Cerca de 6 elétrons em cada partícula para equilibrar a força gravitacional.

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