Questão 7. Uma hipérbole equilatera tem focos F_{1}=(-\sqrt{8}, 0) e F_{2}=(\sqrt{8}, 0). Exiba a distância focal, o eixo transverso, o eixo conjugado, os vértices, o segmento focal, as assíntotas e faça um esboço dessa hipérbole.

Passo 1

O enunciado dá uma hipérbole equilátera cujos focos são F_{1}=(-\sqrt{8},0) e F_{2}=(\sqrt{8},0). Em hipérbole equilátera vale a=b e a relação entre o semi‐eixo a, o semi‐eixo conjugado b e o semi‐distância focal c é
c^2 = a^2 + b^2.
Vamos usar isso para encontrar a e b, escrever a equação canônica, e então determinar os eixos, vértices, distância focal, segmento focal (latus rectum), assíntotas e esboçar a curva.

Passo 2

O valor de c é a distância do centro (0,0) a cada foco, logo
c = \sqrt{8},\quad c^2 = 8.
Como a hipérbole é equilátera, a=b, então
8 = c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad a = b = 2.

Passo 3

A equação canônica de uma hipérbole com eixo transverso horizontal e centro na origem é
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.
Substituindo a^2=b^2=4, obtemos
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1.

Passo 4

O eixo transverso é a reta que contém os vértices e é paralela ao eixo x, logo
y = 0.
O eixo conjugado é perpendicular a ele, passando pelo centro, logo
x = 0.

Passo 5

Os vértices ficam em (\pm a,0), isto é,
(2,0)\quad\text{e}\quad(-2,0).
A distância focal, que é o comprimento do segmento F_1F_2, vale
2c = 2\sqrt{8}.

Passo 6

O segmento focal (latus rectum) é o cordão focal perpendicular ao eixo transverso, com comprimento
L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2\cdot4}{2} = 4.
Em cada foco (por exemplo em (\sqrt{8},0)), suas extremidades são
\bigl(\sqrt{8},\,\pm \tfrac{b^2}{a}\bigr) = (\sqrt{8},\pm 2),
e analogamente em (-\sqrt{8},0).

Passo 7

As assíntotas da hipérbole vêm de y=\pm\frac{b}{a}\,x. Como b/a=1, elas são
y = x \quad\text{e}\quad y = -x.

Passo 8

Esboço: no plano cartesiano, marque os eixos x e y, os vértices em (\pm2,0) e os focos em (\pm\sqrt{8},0). Desenhe dois ramos abertos à direita e à esquerda que passam pelos vértices e se aproximam das retas y=\pm x.

Resposta

Distância focal: 2\sqrt{8}
Eixo transverso: y=0
Eixo conjugado: x=0
Vértices: (2,0) e (-2,0)
Segmento focal (latus rectum): comprimento 4, com extremidades em (\pm\sqrt{8},\pm2)
Assíntotas: y=x e y=-x
Equação canônica: \displaystyle \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1
Esboço: ramos horizontais aproximando-se das retas y=\pm x.

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