Questão 7. Uma hipérbole equilatera tem focos
e
. Exiba a distância focal, o eixo transverso, o eixo conjugado, os vértices, o segmento focal, as assíntotas e faça um esboço dessa hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá uma hipérbole equilátera cujos focos são
e
. Em hipérbole equilátera vale
e a relação entre o semi‐eixo
, o semi‐eixo conjugado
e o semi‐distância focal
é
Vamos usar isso para encontrar
e
, escrever a equação canônica, e então determinar os eixos, vértices, distância focal, segmento focal (latus rectum), assíntotas e esboçar a curva.
Passo 2
O valor de
é a distância do centro
a cada foco, logo
Como a hipérbole é equilátera,
, então
Passo 3
A equação canônica de uma hipérbole com eixo transverso horizontal e centro na origem é
Substituindo
, obtemos
Passo 4
O eixo transverso é a reta que contém os vértices e é paralela ao eixo
, logo
O eixo conjugado é perpendicular a ele, passando pelo centro, logo
Passo 5
Os vértices ficam em
, isto é,
A distância focal, que é o comprimento do segmento
, vale
Passo 6
O segmento focal (latus rectum) é o cordão focal perpendicular ao eixo transverso, com comprimento
Em cada foco (por exemplo em
), suas extremidades são
e analogamente em
.
Passo 7
As assíntotas da hipérbole vêm de
. Como
, elas são
Passo 8
Esboço: no plano cartesiano, marque os eixos
e
, os vértices em
e os focos em
. Desenhe dois ramos abertos à direita e à esquerda que passam pelos vértices e se aproximam das retas
.
Resposta
Distância focal:
Eixo transverso:
Eixo conjugado:
Vértices: e
Segmento focal (latus rectum): comprimento , com extremidades em
Assíntotas: e
Equação canônica:
Esboço: ramos horizontais aproximando-se das retas .
Eixo transverso:
Eixo conjugado:
Vértices:
Segmento focal (latus rectum): comprimento
Assíntotas:
Equação canônica:
Esboço: ramos horizontais aproximando-se das retas