Questão 3. Uma elipse tem focos F_{1}=(-2,0) e F_{2}=(2,0) e excentricidade e=\frac{2}{3}. Determine a equação reduzida e apresente um esboço dessa elipse.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com focos em F_{1}=(-2,0) e F_{2}=(2,0) e excentricidade e=\tfrac{2}{3}.
O conteúdo envolve definição de elipse centrada na origem com eixo maior horizontal, em que se relacionam as semi-axes a, b e a distância focal c pelas fórmulas
e=\frac{c}{a}, \qquad b^2 = a^2 - c^2.

Passo 2

A distância do centro (0,0) a cada foco é
c = 2
e, pela definição de excentricidade,
e = \frac{c}{a} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{c}{e} = \frac{2}{2/3} = 3.

Passo 3

Aplicando a relação entre a, b e c, temos
b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5,
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b = \sqrt{5}.

Passo 4

A equação reduzida da elipse com eixo maior ao longo de x é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.
Substituindo a^2=9 e b^2=5, chega-se a
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.

Passo 5

Esboço no plano xy:
  • Interceptos nos eixos em (\pm3,0) e (0,\pm\sqrt{5}).
  • Focos em (\pm2,0).
    Assim, a elipse é centrada na origem, com eixo maior horizontal de comprimento 6 e eixo menor vertical de comprimento 2\sqrt{5}.

Resposta

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.

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