Questão 5. Os pontos (3,8) e (3,2) são focos de uma elipse, e o comprimento da distância do eixo não focal mede 8. Determine os vértices, a equação da elipse e a excentricidade dessa elipse. Faça também um esboço dessa elipse.

Passo 1

O enunciado diz que os focos da elipse são (3,8) e (3,2) e que o eixo não focal (isto é, o eixo menor) tem comprimento 8. Vamos usar:
  1. Cálculo do centro e da distância focal c.
  2. Relação entre semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e c: \,a^2=b^2+c^2.
  3. Determinação dos vértices, equação padrão e excentricidade e=c/a.
  4. Esboço da elipse.

Passo 2

O centro C da elipse é o ponto médio dos focos. Como os focos têm coordenadas (3,8) e (3,2),
C = \Bigl(3,\;\frac{8+2}{2}\Bigr) = (3,5).
A distância focal total vale \sqrt{(3-3)^2+(8-2)^2}=6, logo
c = \frac{6}{2} = 3.

Passo 3

O enunciado informa que o comprimento do eixo menor é 8. Então o semi-eixo menor é
b = \frac{8}{2} = 4.

Passo 4

Usamos a relação \,a^2 = b^2 + c^2:
a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25,
logo a = 5.
Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo que passa pelos focos (vertical), isto é, em
(3,\,5\pm 5) \;\Longrightarrow\;(3,10)\text{ e }(3,0).

Passo 5

A equação padrão de uma elipse com eixo maior vertical e centro em (h,k) é
\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1.
Substituindo h=3, k=5, b=4, a=5, obtemos
\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-5)^2}{25} = 1.
A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}.

Passo 6

Para esboçar a elipse:
– Trace eixos de coordenadas e marque o centro (3,5).
– Marque os vértices maiores em (3,10) e (3,0) e os vértices menores em (3\pm4,5), ou seja, em (-1,5) e (7,5).
– Marque os focos em (3,8) e (3,2).
– Desenhe uma curva oval que passe pelos vértices e envolva os focos.

Resposta

Vértices: (3,10) e (3,0).
Equação: \frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-5)^2}{25} = 1.
Excentricidade: e = \tfrac{3}{5}.

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