Questão 5. Os pontos
e
são focos de uma elipse, e o comprimento da distância do eixo não focal mede 8. Determine os vértices, a equação da elipse e a excentricidade dessa elipse. Faça também um esboço dessa elipse.
Passo 1
O enunciado diz que os focos da elipse são
e
e que o eixo não focal (isto é, o eixo menor) tem comprimento
. Vamos usar:
- Cálculo do centro e da distância focal
. - Relação entre semi-eixo maior
, semi-eixo menor e : . - Determinação dos vértices, equação padrão e excentricidade
. - Esboço da elipse.
Passo 2
O centro
da elipse é o ponto médio dos focos. Como os focos têm coordenadas
e
,
A distância focal total vale
, logo
Passo 3
O enunciado informa que o comprimento do eixo menor é
. Então o semi-eixo menor é
Passo 4
Usamos a relação
:
logo
.
Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo que passa pelos focos (vertical), isto é, em
Os vértices estão a uma distância
Passo 5
A equação padrão de uma elipse com eixo maior vertical e centro em
é
Substituindo
,
,
,
, obtemos
A excentricidade é
Passo 6
Para esboçar a elipse:
– Trace eixos de coordenadas e marque o centro .
– Marque os vértices maiores em e
e os vértices menores em
, ou seja, em
e
.
– Marque os focos em e
.
– Desenhe uma curva oval que passe pelos vértices e envolva os focos.
– Trace eixos de coordenadas e marque o centro
– Marque os vértices maiores em
– Marque os focos em
– Desenhe uma curva oval que passe pelos vértices e envolva os focos.
Resposta
Vértices:
e
.
Equação:
Excentricidade:
.