Questão 8. Uma hipérbole tem como vértices os pontos (0,3) e (0,-3), e um de seus focos é o ponto (0,5). Determine a equação da hipérbole, o comprimento do seu eixo focal e suas assíntotas. Faça também um esboço dessa hipérbole.

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole cujos vértices são (0,3) e (0,-3) e que tem um foco em (0,5). O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos identificar o centro, o semi-eixo transverso a, a distância focal c, calcular o semi-eixo conjugado b pela relação c^2=a^2+b^2, montar a equação canônica, achar o comprimento do eixo focal e as assíntotas, e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

Os vértices estão em (0,3) e (0,-3), logo o centro é o ponto médio
(0,0),
e o semi-eixo transverso vale
a = \frac{\text{distância entre vértices}}{2} = \frac{6}{2} = 3.âé

Passo 3

Um dos focos está em (0,5), portanto c=5. Pela relação das hipérboles
c^2 = a^2 + b^2
temos
b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16,
logo b=4. Como o eixo transverso é vertical, a equação canônica é
\frac{y^2}{a^2} \;-\;\frac{x^2}{b^2} \;=\;1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1.

Passo 4

O comprimento do eixo focal é a distância entre os dois focos, isto é
2c = 2\cdot 5 = 10.

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole do tipo \tfrac{y^2}{a^2}-\tfrac{x^2}{b^2}=1 centrada em (0,0) são
y = \pm \frac{a}{b}\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \frac{3}{4}\,x.

Passo 6

Esboço da hipérbole (ramificações verticais e assíntotas tracejadas):
y

6 | . . . . . .
5 | /
4 | /
3 o /
2 | \ /
1 | \ /
y =0+------------------------→ x
-1 | /
-2 | /
-3 o \ /
-4 | \ /
-5 | \ /
-6 | . . . . .
As linhas pontilhadas representam as assíntotas y=\pm\tfrac{3}{4}x, e os pontos marcados o são os vértices.

Resposta

Equação:
\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1.
Comprimento do eixo focal: 10. Assíntotas:
y = \pm \frac{3}{4}\,x.

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