Questão 13. Uma parábola tem vértice V=(3,4) e foco F=(3,2). Determine a equação reduzida dessa parábola e equação de sua diretriz. Adote 2 p a distância do foco a reta diretriz.

Passo 1

O enunciado dá uma parábola cujo vértice é V=(3,4) e foco é F=(3,2). O conteúdo é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, e a forma canônica (reduzida) para eixo vertical:
(x-h)^2 = 4p\,(y-k)
onde (h,k) é o vértice e p é a distância (com sinal) do vértice ao foco ao longo do eixo de simetria.

Passo 2

Como V e F têm a mesma abscissa x=3, o eixo de simetria é a reta x=3. A ordenada do foco é 2 e a do vértice é 4, logo
p = y_F - y_V = 2 - 4 = -2.
O sinal negativo indica que a parábola abre para baixo.

Passo 3

Substituindo h=3, k=4 e p=-2 na forma canônica, obtemos
(x-3)^2 = 4p\,(y-4)
(x-3)^2 = 4\cdot(-2)\,(y-4)
(x-3)^2 = -8\,(y-4).

Passo 4

A diretriz de uma parábola vertical é a reta
y = k - p.
Aqui,
y = 4 - (-2) = 6.

Resposta

Equação reduzida: \;(x-3)^2 = -8\,(y-4).
Diretriz: \;y = 6.

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