Questão 8. Uma hipérbole tem como vértices os pontos
e
, e um de seus focos é o ponto
. Determine a equação da hipérbole, o comprimento do seu eixo focal e suas assíntotas. Faça também um esboço dessa hipérbole.
Passo 1
O enunciado pede a hipérbole cujos vértices são
e
e que tem um foco em
. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos identificar o centro, o semi-eixo transverso
, a distância focal
, calcular o semi-eixo conjugado
pela relação
, montar a equação canônica, achar o comprimento do eixo focal e as assíntotas, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Os vértices estão em
e
, logo o centro é o ponto médio
e o semi-eixo transverso vale
Passo 3
Um dos focos está em
, portanto
. Pela relação das hipérboles
temos
logo
. Como o eixo transverso é vertical, a equação canônica é
Passo 4
O comprimento do eixo focal é a distância entre os dois focos, isto é
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole do tipo
centrada em
são
Passo 6
Esboço da hipérbole (ramificações verticais e assíntotas tracejadas):
y
↑
6 | . . . . . .
5 | /
4 | /
3 o /
2 | \ /
1 | \ /
y ------------------------→ x
-1 | /
-2 | /
-3 o \ /
-4 | \ /
-5 | \ /
-6 | . . . . .
↑
6 | . . . . . .
5 | /
4 | /
3 o /
2 | \ /
1 | \ /
y
-1 | /
-2 | /
-3 o \ /
-4 | \ /
-5 | \ /
-6 | . . . . .
As linhas pontilhadas representam as assíntotas
, e os pontos marcados
são os vértices.
Resposta
Equação:
Comprimento do eixo focal:
Assíntotas: