Questão 13. Uma parábola tem vértice V=(3,4) e foco F=(3,2). Determine a equação reduzida dessa parábola e equação de sua diretriz. Adote 2 p a distância do foco a reta diretriz.

Passo 1

O enunciado dá o vértice V=(3,4) e o foco F=(3,2) de uma parábola. Precisamos achar a equação reduzida dessa parábola e a equação da diretriz, sabendo que 2p é a distância do foco à reta diretriz. O conteúdo envolvido é a forma canônica de uma parábola com eixo paralelo ao eixo y:
(x-h)^{2}=4p\,(y-k),
onde (h,k) é o vértice e p indica a “distância com sinal” do vértice ao foco.

Passo 2

Determine o valor de p. Como o vértice é (h,k)=(3,4) e o foco é (3,2), pela definição de p temos
k+p=y_{F}\quad\Longrightarrow\quad 4 + p = 2
Logo
p = 2 - 4 = -2.
O sinal negativo indica que a parábola se abre para baixo.

Passo 3

Substituindo (h,k)=(3,4) e p=-2 na forma canônica, obtemos a equação reduzida:
(x-3)^{2} \;=\; 4\,p\,(y-4) \;\Longrightarrow\; (x-3)^{2} \;=\; 4\cdot(-2)\,(y-4) \;\Longrightarrow\; (x-3)^{2} = -8\,(y-4).

Passo 4

A diretriz é a reta cuja distância ao foco vale 2p. Mas, diretamente da forma canônica, a diretriz verticalmente distante do vértice vale
y = k - p = 4 - (-2) = 6.

Resposta

Equação reduzida:
(x-3)^{2} = -8\,(y-4).
Equação da diretriz:
y = 6.

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