Questão IV (0,30) - Cap. 13
Deimos, lua de Marte, move-se em órbita aproximadamente circular de raio 2,35 \times 10 \mathrm{~m} e período de 30,3 \mathrm{~h}.
(Dados: diâmetro médio de Marte =6,9 \times 10^{3} \mathrm{~km} )
a) Calcule a massa de Marte.
b) Determine a velocidade de escape em Marte.
c) Qual é a aceleração da gravidade em Marte?

Passo 1

O enunciado nos dá Deimos em órbita circular de raio
r = 2,35 \times 10^{7}\,\mathrm{m}
e período
T = 30{,}3\,\mathrm{h}.
Além disso, o diâmetro médio de Marte é
d = 6,9 \times 10^{3}\,\mathrm{km}.
O conteúdo necessário envolve a lei da gravitação universal para órbita circular (3ª lei de Kepler), a fórmula da velocidade de escape e a expressão da aceleração da gravidade na superfície.

Passo 2

Para achar a massa de Marte usamos a 3ª lei de Kepler na forma
T^{2} = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,M} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,T^{2}}.
Convertendo o período para segundos:
T = 30{,}3 \times 3600\,\mathrm{s} = 109080\,\mathrm{s}.
Calculamos
r^{3} = \bigl(2,35\times10^{7}\bigr)^{3} \approx 1,30\times10^{22}\,\mathrm{m}^{3},
T^{2} \approx (1,0908\times10^{5})^{2} \approx 1,19\times10^{10}\,\mathrm{s}^{2}.
Com G = 6,67\times10^{-11}\,\mathrm{m^{3}kg^{-1}s^{-2}},
M = \frac{4\pi^{2}\,(1,30\times10^{22})}{6,67\times10^{-11}\,(1,19\times10^{10})} \approx 6,4\times10^{23}\,\mathrm{kg}.

Passo 3

A velocidade de escape na superfície de Marte é
v_{\mathrm{esc}} = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}},
onde o raio de Marte é metade do diâmetro:
R = \frac{6,9\times10^{3}\,\mathrm{km}}{2} = 3,45\times10^{6}\,\mathrm{m}.
Substituindo
v_{\mathrm{esc}} = \sqrt{\frac{2\,(6,67\times10^{-11})\,(6,4\times10^{23})}{3,45\times10^{6}}} \approx 5,0\times10^{3}\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

A aceleração da gravidade na superfície de Marte é
g = \frac{G\,M}{R^{2}}.
Usando os mesmos M e R:
g = \frac{6,67\times10^{-11}\,(6,4\times10^{23})}{(3,45\times10^{6})^{2}} \approx 3,6\,\mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a) M \approx 6,4\times10^{23}\,\mathrm{kg}.
b) v_{\mathrm{esc}} \approx 5,0\times10^{3}\,\mathrm{m/s}.
c) g \approx 3,6\,\mathrm{m/s^{2}}.

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