Questão I: (6,0) Resolva as equações diferencias abaixo.
OBS: Cada uma das equações abaixo deve ser resolvida por um método diferente. Escreva no inicio de cada questão o método escolhido na solução.
Não será corrigida duas questões resolvidas pelo mesmo método. Neste caso, será corrigida apenas a primeira.
2 y^2 y^prime=3 y-y^prime, y(3)=1.

Passo 1

Temos a EDO 2y^2y'=3y - y' com condição inicial y(3)=1. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem, resolvida por separação de variáveis.

Passo 2

Método escolhido: separação de variáveis, pois podemos isolar y' como função apenas de y.

Passo 3

Isolando y': fatoramos em 2y^2y' + y' = 3y, obtendo
y'(2y^2 + 1) = 3y
Logo
y' = 3y2y^2 + 1 .

Passo 4

Separamos as variáveis y e x:
2y^2 + 13y,dy = dx .

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral 2y^2 + 13y,dy = integral dx
que dá
13y^2 + 13ln|y| = x + C .

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(3)=1 em 13y^2 + 13ln|y| = x + C:
13cdot1^2 + 13ln1 = 3 + C
Logo
13 = 3 + C implies C = -83 .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 3 e reagrupando a constante, obtemos a solução implícita
y^2 + ln|y| = 3x - 8 .

Resposta

y^2 + ln|y| = 3x - 8

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