Questão:(4.0 pontos) Calcule as integrais:
; onde
é a região limitada pela parábola
, pela reta
e pelo eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. O que a gente tem aqui é a expressão
, onde
é a região delimitada pela parábola
, pela reta
e pelo eixo
. A matéria envolve cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como integrar funções dentro dessa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Ela é limitada pela parábola
, pela reta vertical
e pelo eixo
(que é a reta
). Vamos esboçar isso:
- A parábola
abre para cima. - A reta
corta a parábola em . - O eixo
é a base da parábola.
Então, a região
está entre
e
, e para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como
vai de
a
para cada
entre
e
, podemos escrever a integral como uma integral iterada:
Aqui, a gente primeiro integra em relação a
, mantendo
fixo, e depois integra o resultado em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como
é uma constante em relação a
, a gente pode simplificar:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Aqui, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Resposta
A integral dupla vale
.