Questão:(4.0 pontos) Calcule as integrais:
integral duplaD e^x^3 d A; onde D é a região limitada pela parábola y=x^2, pela reta x=1 e pelo eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. O que a gente tem aqui é a expressão integral duplaD e^x^3 , dA, onde D é a região delimitada pela parábola y = x^2, pela reta x = 1 e pelo eixo x. A matéria envolve cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como integrar funções dentro dessa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D. Ela é limitada pela parábola y = x^2, pela reta vertical x = 1 e pelo eixo x (que é a reta y = 0). Vamos esboçar isso:
  • A parábola y = x^2 abre para cima.
  • A reta x = 1 corta a parábola em y = 1.
  • O eixo x é a base da parábola.
Então, a região D está entre x = 0 e x = 1, e para cada x nesse intervalo, y varia de 0 até x^2.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como y vai de 0 a x^2 para cada x entre 0 e 1, podemos escrever a integral como uma integral iterada:
integralx=0^1 ( integraly=0^x^2 e^x^3 , dy ) dx
Aqui, a gente primeiro integra em relação a y, mantendo x fixo, e depois integra o resultado em relação a x.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integraly=0^x^2 e^x^3 , dy
Como e^x^3 é uma constante em relação a y, a gente pode simplificar:
e^x^3 integraly=0^x^2 dy = e^x^3 cdot [ y ]0^x^2 = e^x^3 cdot x^2
Então, a integral interna resulta em x^2 e^x^3.

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x:
integralx=0^1 x^2 e^x^3 , dx
Aqui, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = x^3, então du = 3x^2 dx, ou seja, x^2 dx = du3.
Substituindo na integral:
integralu=0^1 e^u cdot du3 = 13 integral0^1 e^u , du = 13 [ e^u ]0^1 = 13 (e^1 - e^0) = 13 (e - 1)

Resposta

A integral dupla vale e - 13.

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