Questão:(2.0 pontos) Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y, z)=x y+z^2 sobre a circunferência obtida pela interseção do plano y-x=0 com a esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

Vamos lá, você quer encontrar os valores máximo e mínimo da função $ f(x, y, z) = x y + z^{2} $ sobre uma circunferência específica. Essa circunferência é formada pela interseção do plano $ y - x = 0 $ com a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e otimização de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a circunferência onde o plano e a esfera se intersectam. O plano é dado por $ y - x = 0 $, o que significa que $ y = x $. Vamos substituir isso na equação da esfera para encontrar uma relação entre as coordenadas.

Passo 3

Substituindo $ y = x $ na equação da esfera:
y = x
Essa é a equação da circunferência de interseção no plano $ y = x $.

Passo 4

Agora, para simplificar, podemos parametrizar essa circunferência. Uma forma comum de parametrizar uma circunferência é usando ângulos. Vamos definir um parâmetro $ \theta $ que varia de 0 a $ 2\pi $ e expressar $ x $ e $ z $ em termos de $ \theta $.

Passo 5

Vamos resolver a equação $ 2x^{2} + z^{2} = 4 $ para parametrizar $ x $ e $ z $. Podemos dividir ambos os lados por 4 para facilitar:
2x^2 + z^2 = 4
Isso se assemelha à equação de uma elipse, mas como estamos no contexto de uma esfera, vamos ajustar nossa parametrização.

Passo 6

Podemos expressar $ x $ e $ z $ em termos de $ \theta $:
x
E como $ y = x $, temos:
z

Passo 7

Agora que temos $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ \theta $, vamos substituir essas expressões na função $ f(x, y, z) $:
x

Passo 8

Simplificando a expressão:
f(theta) = 2 cos^2 theta + 4 sin^2 theta
Podemos fatorar:
f(theta) = 2 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta)

Passo 9

Vamos usar a identidade trigonométrica $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $. Reescrevendo a função:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1

Passo 10

Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo de $ f(\theta) $, observamos que $ \sin^{2} \theta $ varia entre 0 e 1.
  • Quando $ \sin^{2} \theta = 0 $:
    f(theta)
  • Quando $ \sin^{2} \theta = 1 $:
    sin^2 theta

Resposta

Os valores mínimo e máximo da função $ f(x, y, z) = x y + z^{2} $ na circunferência dada são:
  • Mínimo: 2
  • Máximo: 4

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