Questão:(2.0 pontos) Encontre os valores máximo e mínimo da função
sobre a circunferência obtida pela interseção do plano
com a esfera
.
Passo 1
Vamos lá, você quer encontrar os valores máximo e mínimo da função $ f(x, y, z) = x y + z^{2} $ sobre uma circunferência específica. Essa circunferência é formada pela interseção do plano $ y - x = 0 $ com a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e otimização de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a circunferência onde o plano e a esfera se intersectam. O plano é dado por $ y - x = 0 $, o que significa que $ y = x $. Vamos substituir isso na equação da esfera para encontrar uma relação entre as coordenadas.
Passo 3
Substituindo $ y = x $ na equação da esfera:
Essa é a equação da circunferência de interseção no plano $ y = x $.
Passo 4
Agora, para simplificar, podemos parametrizar essa circunferência. Uma forma comum de parametrizar uma circunferência é usando ângulos. Vamos definir um parâmetro $ \theta $ que varia de 0 a $ 2\pi $ e expressar $ x $ e $ z $ em termos de $ \theta $.
Passo 5
Vamos resolver a equação $ 2x^{2} + z^{2} = 4 $ para parametrizar $ x $ e $ z $. Podemos dividir ambos os lados por 4 para facilitar:
Isso se assemelha à equação de uma elipse, mas como estamos no contexto de uma esfera, vamos ajustar nossa parametrização.
Passo 6
Podemos expressar $ x $ e $ z $ em termos de $ \theta $:
E como $ y = x $, temos:
Passo 7
Agora que temos $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ \theta $, vamos substituir essas expressões na função $ f(x, y, z) $:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar:
Passo 9
Vamos usar a identidade trigonométrica $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $. Reescrevendo a função:
Passo 10
Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo de $ f(\theta) $, observamos que $ \sin^{2} \theta $ varia entre 0 e 1.
-
Quando $ \sin^{2} \theta = 0 $:
-
Quando $ \sin^{2} \theta = 1 $:
Resposta
Os valores mínimo e máximo da função $ f(x, y, z) = x y + z^{2} $ na circunferência dada são:
- Mínimo: 2
- Máximo: 4