Questão I: (6,0) Resolva as equações diferencias abaixo.
OBS: Cada uma das equações abaixo deve ser resolvida por um método diferente. Escreva no inicio de cada questão o método escolhido na solução.
Não será corrigida duas questões resolvidas pelo mesmo método. Neste caso, será corrigida apenas a primeira.
y^prime=y+xy-x, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial y'=y+xy-x com condição inicial y(0)=2. O método escolhido aqui é o de equação diferencial homogênea, pois a função f(x,y)=y+xy-x é homogênea de grau zero.

Passo 2

Uma função f(x,y) é homogênea de grau zero se f(tx,ty)=f(x,y). Assim, fazemos a substituição y=vx, o que implica
y'=v + xdvdx

Passo 3

Substituindo na equação original temos
v + xdvdx = vx + xvx - x = v+1v-1
Isolando dv/dx:
xdvdx = v+1v-1 - v = 1 - v + 2v-1

Passo 4

Agora separamos variáveis. Escrevemos
dv1 - v + tfrac2v-1 = dxx
Multiplicando numerador e denominador por v-1 obtém-se
integral v-12 - (v-1)^2,dv = integral dxx
Fazendo a mudança de variável u=(v-1)^2 - 2, segue
integral -12duu = ln|x| + C

Passo 5

Voltando às variáveis originais chegamos à forma implícita
(y - x)^2 - 2x^2 = C
Usando y(0)=2 obtemos C=4.

Passo 6

Finalmente, isolando y e escolhendo o ramo que satisfaz y(0)=2, temos
y - x = raiz4 + 2x^2,
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y(x) = x + raiz2x^2 + 4

Resposta

y(x) = x + \sqrt{2x^2 + 4}

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