Questão I:
Resolva as equações diferencias abaixo.
OBS: Cada uma das equações abaixo deve ser resolvida por um método diferente. Escreva no inicio de cada questão o método escolhido na solução.
Não será corrigida duas questões resolvidas pelo mesmo método. Neste caso, será corrigida apenas a primeira.
.
OBS: Cada uma das equações abaixo deve ser resolvida por um método diferente. Escreva no inicio de cada questão o método escolhido na solução.
Não será corrigida duas questões resolvidas pelo mesmo método. Neste caso, será corrigida apenas a primeira.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação diferencial
com condição inicial
. O método escolhido aqui é o de equação diferencial homogênea, pois a função
é homogênea de grau zero.
Passo 2
Uma função
é homogênea de grau zero se
. Assim, fazemos a substituição
, o que implica
Passo 3
Substituindo na equação original temos
Isolando
:
Passo 4
Agora separamos variáveis. Escrevemos
Multiplicando numerador e denominador por
obtém-se
Fazendo a mudança de variável
, segue
Passo 5
Voltando às variáveis originais chegamos à forma implícita
Usando
obtemos
.
Passo 6
Finalmente, isolando
e escolhendo o ramo que satisfaz
, temos
logo
Resposta
y(x) = x + \sqrt{2x^2 + 4}