Questão 5 (2.0). Identifique a cônica a seguir e determine os seus principais elementos.
9 x^{2}+4 y^{2}-24 y+18 x+9=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica
9x^{2}+4y^{2}-24y+18x+9=0
e determinar seus principais elementos (tipo de cônica, centro, eixos, vértices, focos e excentricidade). Vamos usar o método de completar quadrados para colocar a equação na forma canônica de uma elipse.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e colocamos os coeficientes principais em evidência:
9x^{2}+18x \;+\;4y^{2}-24y \;+\;9=0
9\bigl(x^{2}+2x\bigr)\;+\;4\bigl(y^{2}-6y\bigr)\;+\;9=0

Passo 3

Completar quadrado em cada grupo:
Para x:
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1
Para y:
y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9
Substituindo:
9\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)+4\bigl((y-3)^{2}-9\bigr)+9=0
9(x+1)^{2}-9+4(y-3)^{2}-36+9=0

Passo 4

Reúnem-se constantes e isolamos os quadrados:
9(x+1)^{2}+4(y-3)^{2}-36=0 \quad\Longrightarrow\quad 9(x+1)^{2}+4(y-3)^{2}=36
Dividindo por 36:
\frac{(x+1)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=1
Isto é a forma canônica de uma elipse com centro em (-1,3), semi-eixo maior a (denominador maior) e semi-eixo menor b.

Passo 5

Da forma
\frac{(x+1)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-3)^{2}}{a^{2}}=1 \quad\text{com}\;a^{2}=9,\;b^{2}=4,
temos
\displaystyle a=3, b=2. Como o maior denominador está associado a y, o eixo maior é vertical.
O valor de c (distância do centro aos focos) satisfaz
c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-4=5, \quad c=\sqrt{5}.
Vértices do eixo maior:
(-1,\;3\pm a)=(-1,6)\text{ e }(-1,0).
Vértices do eixo menor:
(-1\pm b,\;3)=(-3,3)\text{ e }(1,3).
Focos:
(-1,\;3\pm \sqrt{5}).
Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt5}{3}.

Resposta

A cônica é uma elipse com:
Centro C=(-1,3)
Semi-eixos a=3 (vertical) e b=2 (horizontal)
Vértices maiores (-1,6), (-1,0)
Vértices menores (-3,3), (1,3)
Focos (-1,3\pm\sqrt5)
Excentricidade e=\dfrac{\sqrt5}{3}.

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