Calcule a integral da função
f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y}
\vec{X}(r, \theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta, \theta),
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.
Resposta esperada: \frac{8 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma integral sobre a região
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le1\}
da função
f(x,y)=\sqrt{1 - x^2 - y}
usando a parametrização
\vec X(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\theta\bigr).
Porém há duas incongruências que impedem a resolução direta:
  1. A função f envolve o termo “ -y” sem expoente, o que quebra a simetria radial de D.
  2. A parametrização \vec X(r,\theta) tem três componentes, como se fosse um mapeamento para uma superfície em \mathbb{R}^3, mas f está definida apenas em (x,y).
Sem esclarecer se
  • a função correta é \sqrt{1 - x^2 - y^2} ou \sqrt{1 - x^2 - y},
  • a parametrização deveria ser \vec X(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta) (para mudança para polares em \mathbb{R}^2) ou uma superfície em \mathbb{R}^3,
não é possível montar a integral correta nem chegar ao valor \tfrac{8\pi}{3}.

Resposta

Não há elementos suficientes nem consistentes no enunciado (ambiguidade na definição de f e na parametrização \vec X) para executar a mudança de variável e obter o resultado \tfrac{8\pi}{3}.

Exercícios relacionados