Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície definida pela equação
O que é pedido:
- Identificar que tipo de superfície quadriculada essa equação representa.
- Discutir suas propriedades (centro, eixos, seções planas importantes, comportamento para grandes coordenadas).
- Esboçar (dar instruções precisas para desenhar) a superfície.
Informações explícitas fornecidas: a equação algébrica que relaciona
. Não há imagem nem nenhum parâmetro adicional.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação numa forma padrão (canônica) para facilitar a classificação. Faço operações algébricas simples:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por
(para normalizar os coeficientes):
Simplificando as frações:
Isolando a parte quadrática do lado esquerdo:
Multiplicando por
para obter o lado direito igual a
:
Reescrevendo em ordem conveniente:
Essa é a forma canônica com que vamos trabalhar.
Passo 3
Como interpretar a forma canônica obtida
:
- É uma equação quadrática homogênea deslocada (lado direito
). - Observando os sinais dos coeficientes das quadráticas: os termos em
e têm sinal positivo, o termo em tem sinal negativo. Ou seja, há duas contribuições positivas e uma negativa na soma que dá . - Regra de classificação (uso prático): quando, na forma
, existem duas parcelas positivas e uma negativa, a superfície é um hiperboloide de uma folha. (Se fosse somente uma positiva e duas negativas, seria hiperboloide de duas folhas.)
Portanto, a superfície é um hiperboloide de uma folha. Vou explicar o porquê geométrico e as propriedades importantes a seguir.
Passo 4
Centro, simetrias e eixo principal:
- O centro da superfície é a origem
, pois não há termos lineares nem termos mistos; a equação é simétrica em , , . - O sinal negativo está no termo com
; isso indica que o eixo privilegiado da superfície é o eixo . Em outras palavras, fazendo seções transversais por planos obtemos elipses cujo tamanho varia com : a superfície se alonga ao longo do eixo . - Para ver isso explicitamente, isolo as coordenadas
:
Isso mostra que, para cada valor fixo de
, a interseção com o plano
é uma elipse centrada em
(na verdade centrada no eixo
, com centro projetado em
) com semieixos iguais (porque os denominadores de
e
são iguais): os semieixos valem
Logo a seção em
é um círculo de raio
, e à medida que
cresce o círculo vira elipse maior (neste caso com os dois semieixos iguais, continua sendo círculo no plano transversal, mas o raio cresce com
). A superfície é contínua e conectada — característica do hiperboloide de uma folha.
Passo 5
Seções relevantes (isto ajuda a esboçar e entender a forma):
- Seção com o plano
:
É um círculo de raio
no plano
.
- Seção com o plano
:
Isto é uma hipérbole no plano
(plano
), com eixos ao longo de
(abertura nas direções
). Vértices quando
em
.
- Seção com o plano
:
semelhante à anterior: hipérbole no plano
(plano
), com vértices em
.
Essas seções mostram claramente: no plano transversal
temos o “pescoço” (círculo mínimo de raio
), e nas outras duas direções aparecem hipérboles que mostram a abertura da superfície ao longo de
.
Passo 6
Comportamento para grandes coordenadas — cone assintótico:
Para pontos longe da origem os termos constantes ficam desprezíveis frente aos quadrados grandes, então a superfície aproxima-se do cone dado por
Reescrevendo:
Isso é um cone duplo com vértice na origem e abertura tal que a razão entre o raio transversal e
é
. A superfície do hiperboloide tende a esse cone quando
crescem.
Passo 7
Instruções passo a passo para esboçar a superfície (como desenhá-la à mão):
-
Desenhe um sistema de eixos cartesianos
(horizontal, para a direita), (horizontal, para dentro/fora da página) e (vertical). Se preferir um esboço 2D, represente horizontal e vertical e indique como perpendicular ao plano do papel. -
Marque no plano
(plano frontal) o círculo de equação . Desenhe esse círculo de raio com centro na origem — é o “cinturão” ou pescoço da superfície. -
Para valores de
diferentes de zero faça cortes imaginários: por exemplo, em o raio transversal vale
em
o raio é
Desenhe elipses (ou círculos projetados) destes raios para
mostrando expansão conforme
aumenta.
-
Ligue suavemente essas elipses formando uma superfície contínua com “cintura” no
que alarga para os dois lados do eixo . O contorno projetado nos planos e deve seguir as hipérboles e respectivamente. -
Se quiser reforçar a ideia de assíntotas, trace levemente o cone
; a superfície se aproxima desse cone para grande.
Esses passos dão um esboço claro: superfície conectada com mínimo transversal em
e que alarga para
grandes.
Passo 8
Resumo das propriedades importantes (úteis em prova ou para identificação rápida):
- Equação canônica:
. - Tipo: hiperboloide de uma folha.
- Centro:
. - Eixo principal: eixo
(simetria central e reflexões em ). - Seção
: círculo (raio ). - Seções
e : hipérboles e . - Assíntota (cone):
.
Resposta
Hiperboloide de uma folha centrado na origem com eixo ao longo do eixo
.
Seção (círculo de raio
).
Seções e
e
(hipérboles).
Cone assintótico: .
Seção
Seções
Cone assintótico: