Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
9 x^{2}-4 y^{2}+36=4 z^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida pela equação
9x^{2}-4y^{2}+36=4z^{2}.
O que é pedido:
  • Identificar que tipo de superfície quadriculada essa equação representa.
  • Discutir suas propriedades (centro, eixos, seções planas importantes, comportamento para grandes coordenadas).
  • Esboçar (dar instruções precisas para desenhar) a superfície.
Informações explícitas fornecidas: a equação algébrica que relaciona x,y,z. Não há imagem nem nenhum parâmetro adicional.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação numa forma padrão (canônica) para facilitar a classificação. Faço operações algébricas simples:
Subtraindo 4z^{2} de ambos os lados:
9x^{2}-4y^{2}-4z^{2}+36=0.
Dividindo toda a equação por 36 (para normalizar os coeficientes):
\frac{9x^{2}}{36}-\frac{4y^{2}}{36}-\frac{4z^{2}}{36}+1=0.
Simplificando as frações:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{9}+1=0.
Isolando a parte quadrática do lado esquerdo:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{9}=-1.
Multiplicando por -1 para obter o lado direito igual a 1:
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1.
Reescrevendo em ordem conveniente:
\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Essa é a forma canônica com que vamos trabalhar.

Passo 3

Como interpretar a forma canônica obtida \dfrac{y^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1:
  • É uma equação quadrática homogênea deslocada (lado direito =1).
  • Observando os sinais dos coeficientes das quadráticas: os termos em y^{2} e z^{2} têm sinal positivo, o termo em x^{2} tem sinal negativo. Ou seja, há duas contribuições positivas e uma negativa na soma que dá 1.
  • Regra de classificação (uso prático): quando, na forma \dfrac{\text{alguns quadrados}}{(\cdot)} - \dfrac{\text{outro quadrado}}{(\cdot)} = 1, existem duas parcelas positivas e uma negativa, a superfície é um hiperboloide de uma folha. (Se fosse somente uma positiva e duas negativas, seria hiperboloide de duas folhas.)
Portanto, a superfície é um hiperboloide de uma folha. Vou explicar o porquê geométrico e as propriedades importantes a seguir.

Passo 4

Centro, simetrias e eixo principal:
  • O centro da superfície é a origem (0,0,0), pois não há termos lineares nem termos mistos; a equação é simétrica em x\mapsto -x, y\mapsto -y, z\mapsto -z.
  • O sinal negativo está no termo com x^{2}; isso indica que o eixo privilegiado da superfície é o eixo x. Em outras palavras, fazendo seções transversais por planos x=\text{constante} obtemos elipses cujo tamanho varia com x: a superfície se alonga ao longo do eixo x.
  • Para ver isso explicitamente, isolo as coordenadas y,z:
\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1+\frac{x^{2}}{4}.
Isso mostra que, para cada valor fixo de x, a interseção com o plano x=\text{const} é uma elipse centrada em (x,0,0) (na verdade centrada no eixo x, com centro projetado em y=z=0) com semieixos iguais (porque os denominadores de y^{2} e z^{2} são iguais): os semieixos valem
a(x)=b(x)=3\sqrt{\,1+\frac{x^{2}}{4}\,}.
Logo a seção em x=0 é um círculo de raio 3, e à medida que |x| cresce o círculo vira elipse maior (neste caso com os dois semieixos iguais, continua sendo círculo no plano transversal, mas o raio cresce com |x|). A superfície é contínua e conectada — característica do hiperboloide de uma folha.

Passo 5

Seções relevantes (isto ajuda a esboçar e entender a forma):
  1. Seção com o plano x=0:
\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+z^{2}=9.
É um círculo de raio 3 no plano x=0.
  1. Seção com o plano y=0:
\frac{z^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Isto é uma hipérbole no plano y=0 (plano xz), com eixos ao longo de z (abertura nas direções \pm z). Vértices quando x=0 em z=\pm 3.
  1. Seção com o plano z=0:
\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1,
semelhante à anterior: hipérbole no plano z=0 (plano xy), com vértices em y=\pm 3.
Essas seções mostram claramente: no plano transversal x=0 temos o “pescoço” (círculo mínimo de raio 3), e nas outras duas direções aparecem hipérboles que mostram a abertura da superfície ao longo de x.

Passo 6

Comportamento para grandes coordenadas — cone assintótico:
Para pontos longe da origem os termos constantes ficam desprezíveis frente aos quadrados grandes, então a superfície aproxima-se do cone dado por
\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=0.
Reescrevendo:
\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}}=\frac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{y^{2}+z^{2}}=\frac{3}{2}\,|x|.
Isso é um cone duplo com vértice na origem e abertura tal que a razão entre o raio transversal e |x| é 3/2. A superfície do hiperboloide tende a esse cone quando |x|,|y|,|z| crescem.

Passo 7

Instruções passo a passo para esboçar a superfície (como desenhá-la à mão):
  1. Desenhe um sistema de eixos cartesianos x (horizontal, para a direita), y (horizontal, para dentro/fora da página) e z (vertical). Se preferir um esboço 2D, represente x horizontal e z vertical e indique y como perpendicular ao plano do papel.
  2. Marque no plano x=0 (plano frontal) o círculo de equação y^{2}+z^{2}=9. Desenhe esse círculo de raio 3 com centro na origem — é o “cinturão” ou pescoço da superfície.
  3. Para valores de x diferentes de zero faça cortes imaginários: por exemplo, em x=\pm 2 o raio transversal vale
3\sqrt{1+\frac{2^{2}}{4}}=3\sqrt{2}\approx 4,24,
em x=\pm 4 o raio é
3\sqrt{1+\frac{4^{2}}{4}}=3\sqrt{1+4}=3\sqrt{5}\approx 6,71.
Desenhe elipses (ou círculos projetados) destes raios para x=\pm 2,\pm 4 mostrando expansão conforme |x| aumenta.
  1. Ligue suavemente essas elipses formando uma superfície contínua com “cintura” no x=0 que alarga para os dois lados do eixo x. O contorno projetado nos planos y=0 e z=0 deve seguir as hipérboles \dfrac{z^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1 e \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1 respectivamente.
  2. Se quiser reforçar a ideia de assíntotas, trace levemente o cone \sqrt{y^{2}+z^{2}}=\tfrac{3}{2}|x|; a superfície se aproxima desse cone para |x| grande.
Esses passos dão um esboço claro: superfície conectada com mínimo transversal em x=0 e que alarga para |x| grandes.

Passo 8

Resumo das propriedades importantes (úteis em prova ou para identificação rápida):
  • Equação canônica: \dfrac{y^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1.
  • Tipo: hiperboloide de uma folha.
  • Centro: (0,0,0).
  • Eixo principal: eixo x (simetria central e reflexões em x,y,z).
  • Seção x=0: círculo y^{2}+z^{2}=9 (raio 3).
  • Seções y=0 e z=0: hipérboles \dfrac{z^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1 e \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1.
  • Assíntota (cone): \sqrt{y^{2}+z^{2}}=\dfrac{3}{2}|x|.

Resposta

Hiperboloide de uma folha centrado na origem com eixo ao longo do eixo x.
Seção x=0\colon y^{2}+z^{2}=9 (círculo de raio 3).
Seções y=0 e z=0\colon \dfrac{z^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1 e \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{4}=1 (hipérboles).
Cone assintótico: \sqrt{y^{2}+z^{2}}=\dfrac{3}{2}|x|.

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