Responda.
(1,0) Considere que \vec{a} é um vetor unitário, \|\vec{b}\|=2 e a medida angular \operatorname{ang}(\vec{a}, \vec{b})=30^{\circ} (ou \frac{\pi}{6} \mathbf{r a d} ). Determine a norma \|(2 \vec{a}+\vec{b}) \wedge(\vec{b}-\vec{a})\|.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \vec{a} é um vetor unitário, ou seja \|\vec{a}\|=1.
  • \|\vec{b}\|=2.
  • \operatorname{ang}(\vec{a},\vec{b})=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}.
    A pergunta é determinar a norma
\|(2\vec{a}+\vec{b})\wedge(\vec{b}-\vec{a})\|.
Observação: vou interpretar o símbolo \wedge como o produto vetorial (produto cruz) entre vetores — procedimento usual quando se pede norma de algo com \wedge.

Passo 2

Usar propriedade de bilinearidade do produto vetorial para expandir o produto:
(2\vec{a}+\vec{b})\wedge(\vec{b}-\vec{a}) =2\vec{a}\wedge\vec{b}-2\vec{a}\wedge\vec{a}+\vec{b}\wedge\vec{b}-\vec{b}\wedge\vec{a}.
Agora lembrar duas coisas simples: todo vetor cruz ele mesmo é o vetor nulo, isto é \vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}. Portanto \vec{a}\wedge\vec{a}=\vec{0} e \vec{b}\wedge\vec{b}=\vec{0}. Substituindo:
(2\vec{a}+\vec{b})\wedge(\vec{b}-\vec{a}) =2\vec{a}\wedge\vec{b}-\vec{b}\wedge\vec{a}.

Passo 3

Usar a anti‑comutatividade do produto vetorial: \vec{b}\wedge\vec{a}=-\vec{a}\wedge\vec{b}. Assim
2\vec{a}\wedge\vec{b}-\vec{b}\wedge\vec{a} =2\vec{a}\wedge\vec{b}-(-\vec{a}\wedge\vec{b}) =3\vec{a}\wedge\vec{b}.
Portanto o vetor cujo módulo queremos é 3\vec{a}\wedge\vec{b}.

Passo 4

Recordar a fórmula para a norma do produto vetorial: para dois vetores \vec{u} e \vec{v} vale
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta,
onde \theta=\operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v}). Geometricamente esse número é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}. Aqui aplicamos com \vec{u}=\vec{a} e \vec{v}=\vec{b}.

Passo 5

Calcular \|\vec{a}\wedge\vec{b}\| usando os dados:
\|\vec{a}\wedge\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) =1\cdot 2\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
Sabendo que \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}, obtemos
\|\vec{a}\wedge\vec{b}\|=1\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2}=1.

Passo 6

Finalmente, como o vetor é 3\vec{a}\wedge\vec{b}, usa-se \|\lambda\vec{v}\|=|\lambda|\,\|\vec{v}\| para obter
\|(2\vec{a}+\vec{b})\wedge(\vec{b}-\vec{a})\| =\|3\vec{a}\wedge\vec{b}\| =3\|\vec{a}\wedge\vec{b}\| =3\cdot 1=3.

Resposta

3

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