Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede que eu identifique, discuta (ou seja: descreva suas seções, interseções com planos coordenados, assimptotas, formato) e esboce essa(s) superfície(s). Informações relevantes dadas:
- A equação envolve as variáveis
e é homogênea de grau (não há termos lineares nem constantes). - A tarefa exige: (1) identificar que tipo de superfície é, (2) discutir suas características geométricas (eixos, seções, etc.) e (3) indicar como esboçá-la.
Passo 2
Reescrever a equação numa forma mais explícita para a análise:
Note que é uma equação quadrática homogênea em
. Vou explicar por que isso já dá uma pista forte sobre o tipo de superfície.
Aula curta: uma equação quadrática homogênea do tipo
define geralmente um cone cujo vértice é a origem. Por quê? Porque se
satisfaz a equação então qualquer ponto obtido multiplicando por um escalar
também satisfaz (substituir
multiplica toda a equação por
), logo a superfície é formada por retas que passam pela origem — isto é, um cone com vértice na origem.
Aplicando isso aqui: como a equação é homogênea de grau
, a superfície é um cone duplo (duas nappes opostas) com vértice em
.
Passo 3
Classificação pelo sinais dos coeficientes (explicação intuitiva):
A forma quadrática associada é . Os coeficientes na base canônica são
(para
),
(para
) e
(para
). Há um coeficiente positivo e dois negativos; portanto a forma é indefinida com assinatura
. Para uma equação homogênea
com assinatura
obtém-se um cone de duas nappes (não degenerado). Isso confirma a identificação: um cone quádruplo (cone elíptico) com eixo ao longo do eixo
.
A forma quadrática associada é
Passo 4
Expressar
em função de
para visualizar as nappes:
Interpretação prática: para cada par
há dois pontos simétricos com
e
. O único ponto com
é
. Logo são duas folhas simétricas em relação ao plano
(duas nappes ao longo do eixo
).
Passo 5
Seções por planos
(traces perpendiculares ao eixo
):
Fixe . A equação fica
Fixe
Isto é a equação de uma elipse no plano
quando
. Dimensões da elipse: semi-eixo na direção
igual a
e na direção
igual a
. Em particular:
- Para
a seção é só o ponto . - Conforme
cresce, as elipses crescem linearmente com . Isso é típico de um cone elíptico: seções perpendiculares ao eixo são elipses que expandem proporcionalmente à distância do vértice.
Passo 6
Seções por planos
e
:
- Fixando
(com ) obtemos
que é uma hipérbole no plano
. As assíntotas dessa hipérbole são dadas por
(mesmo que a forma completa tenha escala), no sentido de que quando
crescem mantendo
pequeno, aproximam-se de
.
- Fixando
(com ) obtemos
outra hipérbole no plano
. As assíntotas dessa família (para
) são as retas obtidas na interseção com
, ou seja
.
Passo 7
Interseções com planos coordenados (traces mais simples):
- Plano
: substituindo dá , que implica e . Logo a interseção é apenas o ponto . - Plano
: substituindo dá , isto é — duas retas passantes pela origem no plano . - Plano
: substituindo dá , isto é — duas retas no plano .
Essas retas são as geratrizes (direções) do cone em planos coordenados: na seção
o cone aparece como duas retas
; na seção
aparece como
.
Passo 8
Parâmetrização útil (para desenho e para entender as direções):
Uma parametrização simples que satisfaz a equação é tomar um parâmetro radial e um ângulo
que percorre as direções na seção transversal:
Uma parametrização simples que satisfaz a equação é tomar um parâmetro radial
com
e
. Verificação (rápida):
Esta parametrização mostra que para cada direção
existe uma geratriz (reta que vai do vértice em direção fixa) e
desloca ao longo dessa reta; trocar o sinal de
percorre a nappe oposta.
Passo 9
Como esboçar passo a passo (receita prática para a prova, sem calculadora):
- Desenhe o eixo
horizontal (ou destaque-o como eixo do cone), e marque a origem. - No plano perpendicular ao eixo
(plano ), para um certo desenhe a elipse . Faça uma elipse mais “achatada” na direção (semi-eixo em é ) e mais alongada em (semi-eixo em é ). - Repita para outro
maior e menor para ver a abertura linear; ligue esses elipses por retas passando pela origem: isso constrói uma nappe para . - Repita o espelho para
(nappe oposta). O conjunto forma um cone duplo cujo eixo é o eixo e cujas geratrizes em planos coordenados são as retas encontradas em Passo 7. - Para orientar: as linhas que aparecem nas seções coordenadas são
(quando ) e (quando ); elas ajudam a desenhar as bordas do cone nas vistas laterais.
Passo 10
Resumo das propriedades geométricas importantes (para decorar/usar em provas):
- Tipo: cone duplo (cone quádruplo elíptico) com vértice na origem.
- Eixo: eixo
(superfície é simétrica por reflexão em ). - Seções
: elipses com semi-eixos (direção ) e (direção ). - Seções
ou : hipérboles (para ); para degeneram em retas geratrizes. - Geratrizes/assíntotas nas seções coordenadas: no plano
são ; no plano são . - Parâmetrização simples:
Resposta
Cone duplo (cone elíptico) dado por
.
Eixo ao longo de .
Seção : elipse
com semi-eixos
(em
) e
(em
).
Seção : retas
.
Seção : retas
.
Parâmetrização: (com
).
Eixo ao longo de
Seção
Seção
Seção
Parâmetrização: