Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
x^{2}-9 y^{2}=z^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x^{2}-9y^{2}=z^{2},
e pede que eu identifique, discuta (ou seja: descreva suas seções, interseções com planos coordenados, assimptotas, formato) e esboce essa(s) superfície(s). Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve as variáveis x,y,z e é homogênea de grau 2 (não há termos lineares nem constantes).
  • A tarefa exige: (1) identificar que tipo de superfície é, (2) discutir suas características geométricas (eixos, seções, etc.) e (3) indicar como esboçá-la.

Passo 2

Reescrever a equação numa forma mais explícita para a análise:
x^{2}-9y^{2}-z^{2}=0.
Note que é uma equação quadrática homogênea em (x,y,z). Vou explicar por que isso já dá uma pista forte sobre o tipo de superfície.
Aula curta: uma equação quadrática homogênea do tipo \text{(termos quadráticos)}=0á define geralmente um cone cujo vértice é a origem. Por quê? Porque se (x,y,z) satisfaz a equação então qualquer ponto obtido multiplicando por um escalar t também satisfaz (substituir tx,ty,tz multiplica toda a equação por t^{2}), logo a superfície é formada por retas que passam pela origem — isto é, um cone com vértice na origem.
Aplicando isso aqui: como a equação é homogênea de grau 2, a superfície é um cone duplo (duas nappes opostas) com vértice em (0,0,0).

Passo 3

Classificação pelo sinais dos coeficientes (explicação intuitiva):
A forma quadrática associada é Q(x,y,z)=x^{2}-9y^{2}-z^{2}. Os coeficientes na base canônica são +1 (para x^{2}), -9 (para y^{2}) e -1 (para z^{2}). Há um coeficiente positivo e dois negativos; portanto a forma é indefinida com assinatura (+,-,-). Para uma equação homogênea Q=0 com assinatura (1,2) obtém-se um cone de duas nappes (não degenerado). Isso confirma a identificação: um cone quádruplo (cone elíptico) com eixo ao longo do eixo x.

Passo 4

Expressar x em função de y,z para visualizar as nappes:
x^{2}=9y^{2}+z^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{9y^{2}+z^{2}}.
Interpretação prática: para cada par (y,z)\neq(0,0) há dois pontos simétricos com x>0 e x<0. O único ponto com x=0 é (0,0,0). Logo são duas folhas simétricas em relação ao plano x=0 (duas nappes ao longo do eixo x).

Passo 5

Seções por planos x=\text{const} (traces perpendiculares ao eixo x):
Fixe x=c. A equação fica
9y^{2}+z^{2}=c^{2}.
Isto é a equação de uma elipse no plano (y,z) quando c\neq0. Dimensões da elipse: semi-eixo na direção y igual a |c|/3 e na direção z igual a |c|. Em particular:
  • Para c=0 a seção é só o ponto (0,0).
  • Conforme |c| cresce, as elipses crescem linearmente com |c|. Isso é típico de um cone elíptico: seções perpendiculares ao eixo são elipses que expandem proporcionalmente à distância do vértice.

Passo 6

Seções por planos y=\text{const} e z=\text{const}:
  • Fixando y=k (com k\neq0) obtemos
x^{2}-z^{2}=9k^{2},
que é uma hipérbole no plano xz. As assíntotas dessa hipérbole são dadas por x=\pm z (mesmo que a forma completa tenha escala), no sentido de que quando |x|,|z| crescem mantendo x^{2}-z^{2} pequeno, aproximam-se de x=\pm z.
  • Fixando z=k (com k\neq0) obtemos
x^{2}-9y^{2}=k^{2},
outra hipérbole no plano xy. As assíntotas dessa família (para k\to0) são as retas obtidas na interseção com k=0, ou seja x=\pm 3y.

Passo 7

Interseções com planos coordenados (traces mais simples):
  • Plano x=0: substituindo dá -9y^{2}-z^{2}=0, que implica y=0 e z=0. Logo a interseção é apenas o ponto (0,0,0).
  • Plano y=0: substituindo dá x^{2}=z^{2}, isto é z=\pm x — duas retas passantes pela origem no plano y=0.
  • Plano z=0: substituindo dá x^{2}-9y^{2}=0, isto é x=\pm 3y — duas retas no plano z=0.
Essas retas são as geratrizes (direções) do cone em planos coordenados: na seção z=0 o cone aparece como duas retas x=\pm 3y; na seção y=0 aparece como z=\pm x.

Passo 8

Parâmetrização útil (para desenho e para entender as direções):
Uma parametrização simples que satisfaz a equação é tomar um parâmetro radial s e um ângulo \theta que percorre as direções na seção transversal:
x=s,\qquad y=\frac{s}{3}\cos\theta,\qquad z=s\sin\theta,
com s\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi). Verificação (rápida):
x^{2}-9y^{2}-z^{2}=s^{2}-9\cdot\frac{s^{2}}{9}\cos^{2}\theta - s^{2}\sin^{2}\theta = s^{2}(1-\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=0.
Esta parametrização mostra que para cada direção \theta existe uma geratriz (reta que vai do vértice em direção fixa) e s desloca ao longo dessa reta; trocar o sinal de s percorre a nappe oposta.

Passo 9

Como esboçar passo a passo (receita prática para a prova, sem calculadora):
  1. Desenhe o eixo x horizontal (ou destaque-o como eixo do cone), e marque a origem.
  2. No plano perpendicular ao eixo x (plano y\!z), para um certo x=c>0 desenhe a elipse 9y^{2}+z^{2}=c^{2}. Faça uma elipse mais “achatada” na direção y (semi-eixo em y é c/3) e mais alongada em z (semi-eixo em z é c).
  3. Repita para outro c maior e menor para ver a abertura linear; ligue esses elipses por retas passando pela origem: isso constrói uma nappe para x>0.
  4. Repita o espelho para x<0 (nappe oposta). O conjunto forma um cone duplo cujo eixo é o eixo x e cujas geratrizes em planos coordenados são as retas encontradas em Passo 7.
  5. Para orientar: as linhas que aparecem nas seções coordenadas são z=\pm x (quando y=0) e x=\pm 3y (quando z=0); elas ajudam a desenhar as bordas do cone nas vistas laterais.

Passo 10

Resumo das propriedades geométricas importantes (para decorar/usar em provas):
  • Tipo: cone duplo (cone quádruplo elíptico) com vértice na origem.
  • Eixo: eixo x (superfície é simétrica por reflexão em x=0).
  • Seções x=c: elipses com semi-eixos |c|/3 (direção y) e |c| (direção z).
  • Seções y=k ou z=k: hipérboles (para k\neq0); para k=0 degeneram em retas geratrizes.
  • Geratrizes/assíntotas nas seções coordenadas: no plano z=0 são x=\pm 3y; no plano y=0 são z=\pm x.
  • Parâmetrização simples: \;x=s,\;y=\dfrac{s}{3}\cos\theta,\;z=s\sin\theta.

Resposta

Cone duplo (cone elíptico) dado por \;x^{2}-9y^{2}-z^{2}=0.
Eixo ao longo de x.
Seção x=c: elipse 9y^{2}+z^{2}=c^{2} com semi-eixos |c|/3 (em y) e |c| (em z).
Seção y=0: retas z=\pm x.
Seção z=0: retas x=\pm 3y.
Parâmetrização: x=s,\;y=\dfrac{s}{3}\cos\theta,\;z=s\sin\theta (com s\in\mathbb{R},\;\theta\in[0,2\pi)).

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