Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
2 x^{2}-8 y^{2}-z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície
2x^{2}-8y^{2}-z^{2}=0
e pede que eu identifique, discuta e esboce (descreva geometricamente) a(s) superfície(s) definida(s) por essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é homogênea de grau 2 (só há termos quadráticos, sem termos lineares ou constantes).
  • O domínio natural é todo \mathbb{R}^{3}.
    As perguntas implícitas que vou responder: qual o tipo de quadric (cone, elipsoide, hiperbóide, etc.), onde fica o vértice/centro, que seções com planos aparecem (linhas, elipses, hipérboles) e como esboçar a superfície.

Passo 2

Por que a equação homogênea indica um cone?
  • Se uma equação é homogênea de grau 2, isto é, se F(x,y,z) é quadrática e F(tx,ty,tz)=t^{2}F(x,y,z) para todo t, então as soluções não dependem da escala do vetor (x,y,z): se (x,y,z) satisfaz F=0 então qualquer múltiplo (t x,t y,t z) também satisfaz F=0. Isso caracteriza uma superfície que passa pela origem e se estende em “direções” a partir da origem — ou seja, um cone duplo com vértice na origem (as duas nappes correspondem a t>0 e t<0).
  • Aqui F(x,y,z)=2x^{2}-8y^{2}-z^{2} é homogênea de grau 2, logo a superfície é um cone com vértice (0,0,0).

Passo 3

Classificação pelo sinal dos coeficientes (assinatura da forma quadrática).
  • A forma é diagonal no sistema canônico: matriz \mathrm{diag}(2,-8,-1). Tem um coeficiente positivo ( 2) e dois negativos ( -8, -1). Isso significa que a forma é indefinida (tem sinais opostos), o que tipicamente dá origem a um cone de duas nappes (não a uma esfera ou elipsoide).
  • Para ver a forma canônica, divido por 2:
x^{2}-4y^{2}-\tfrac{1}{2}z^{2}=0.
Isto já é uma forma canônica (diagonal) que mostra explicitamente um termo positivo e dois negativos. Portanto é um cone do tipo “elíptico” (as seções por planos perpendiculares a um eixo serão elipses).

Passo 4

Verificando as seções com planos coordenados (isso ajuda a esboçar).
  • Plano x=0: substituindo \,x=0 obtemos -8y^{2}-z^{2}=0. A única solução real é y=0,\\ z=0. Logo a superfície só cruza o plano x=0 no ponto (0,0,0) — isto mostra que o cone não tem ponta afastada; a origem é vértice.
  • Plano z=0: substituindo \,z=0 obtemos 2x^{2}-8y^{2}=0, ou
2x^{2}=8y^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4y^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2y.
Isso dá duas retas que passam pela origem no plano z=0: geratrizes do cone nesse plano.
  • Plano y=0: substituindo \,y=0 obtemos 2x^{2}-z^{2}=0, ou
z=\pm \sqrt{2}\,x,
duas retas no plano y=0 também geratrizes.
Essas retas mostram direções concretas dos geradores do cone (linhas que formam as nappes).

Passo 5

Seções por planos x= constante e por planos y= ou z= constantes — identificação dos cônicas obtidas.
  • Para x=c com c\neq 0: substituindo obtemos
8y^{2}+z^{2}=2c^{2},
que é a equação de uma elipse no plano x=c. Assim, cortes transversais por planos perpendiculares ao eixo x são elipses cuja escala é proporcional a |c|. Isso confirma que o cone abre ao longo do eixo x: para x ficando maior em magnitude, a elipse transversal cresce linearmente em tamanho — característica típica de um cone elíptico duplo com vértice na origem.
  • Para y=c com c\neq 0: substituindo obtemos
2x^{2}-z^{2}=8c^{2},
que é uma hipérbole no plano y=c.
  • Para z=c com c\neq 0: substituindo obtemos
2x^{2}-8y^{2}=c^{2},
outra hipérbole no plano z=c.
Portanto, conforme se cortam a superfície com planos paralelos a yz, xz, xy, aparecem elipses ou hipérboles conforme o plano escolhido — comportamento esperado de um cone elíptico.

Passo 6

Outra forma que enfatiza as direções (razões y/x e z/x).
  • Para x\neq 0 posso dividir a equação por x^{2} e definir u=\dfrac{y}{x}, v=\dfrac{z}{x}. Obtenho
8u^{2}+v^{2}=2.
  • Reescrevendo,
\frac{u^{2}}{1/4}+\frac{v^{2}}{2}=1,
que é uma elipse no plano (u,v) das direções. Isso significa: as direções (u,v)=(y/x,z/x) que geram a superfície formam uma elipse — portanto o cone é elíptico (não é um cone circular com simetria rotacional completa, mas tem elipses de direções).
  • Geometricamente: a superfície é o fecho das retas que partem da origem em todas as direções (1,u,v) com (u,v) satisfazendo a elipse acima; cada direção gera uma reta que, variando o parâmetro de escala t, dá os pontos (t, tu, tv) na superfície.

Passo 7

Parametrização conveniente (útil para visualizar e, se necessário, desenhar numericamente).
  • Usando coordenadas polares no plano yz: seja \rho\ge 0 e \theta tal que y=\rho\cos\theta,\\ z=\rho\sin\theta. Da equação vem
2x^{2}=8y^{2}+z^{2}=\rho^{2}(8\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta).
  • Assim uma parametrização das duas nappes é
x=\pm \rho\sqrt{\dfrac{8\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{2}},\qquad y=\rho\cos\theta,\qquad z=\rho\sin\theta,
com \rho\ge 0,\\ \theta\in[0,2\pi). A escolha do sinal \pm dá as duas nappes (uma para x>0 e outra para x<0).

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem cálculo pesado).
  • Desenhe o eixo x horizontal e os eixos y,z perpendiculares (padrão 3D).
  • Marque o vértice na origem (0,0,0).
  • Desenhe as geratrizes encontradas nos planos coordenados:
    • no plano z=0: retas x=\pm 2y;
    • no plano y=0: retas z=\pm \sqrt{2}\,x.
      Essas retas mostram as “arestas” do cone nos planos coordenados e ajudam a orientar a abertura.
  • Para um valor x=c>0 desenhe a elipse 8y^{2}+z^{2}=2c^{2} (uma elipse alongada na direção y); repita para x=-c espelhado.
  • Ligue suavemente as elipses para formar as duas nappes do cone. Lembre-se: não é um cone circular — as elipses transversais têm eixos de comprimentos diferentes em y e z.

Passo 9

Resumo final da classificação e propriedades principais (curto e claro).
  • A superfície é um cone elíptico duplo (cono quádruico) com vértice na origem (0,0,0).
  • O eixo do cone é o eixo x (os cortes x=const são elipses).
  • Interseções úteis: plano z=0 dá retas x=\pm 2y; plano y=0 dá retas z=\pm\sqrt{2}\,x; para x=c\neq 0 as seções são elipses 8y^{2}+z^{2}=2c^{2}.
  • Equivalente canônico: \;x^{2}-4y^{2}-\tfrac{1}{2}z^{2}=0.

Resposta

Cone elíptico duplo (vértice em (0,0,0)), com eixo no eixo x; cortes x=c ( c\neq0) são elipses 8y^{2}+z^{2}=2c^{2}; interseções com z=0 são as retas x=\pm2y e com y=0 são as retas z=\pm\sqrt{2}\,x.

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