Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície
e pede que eu identifique, discuta e esboce (descreva geometricamente) a(s) superfície(s) definida(s) por essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é homogênea de grau
(só há termos quadráticos, sem termos lineares ou constantes). - O domínio natural é todo
.
As perguntas implícitas que vou responder: qual o tipo de quadric (cone, elipsoide, hiperbóide, etc.), onde fica o vértice/centro, que seções com planos aparecem (linhas, elipses, hipérboles) e como esboçar a superfície.
Passo 2
Por que a equação homogênea indica um cone?
- Se uma equação é homogênea de grau
, isto é, se é quadrática e para todo , então as soluções não dependem da escala do vetor : se satisfaz então qualquer múltiplo também satisfaz . Isso caracteriza uma superfície que passa pela origem e se estende em “direções” a partir da origem — ou seja, um cone duplo com vértice na origem (as duas nappes correspondem a e ). - Aqui
é homogênea de grau , logo a superfície é um cone com vértice .
Passo 3
Classificação pelo sinal dos coeficientes (assinatura da forma quadrática).
- A forma é diagonal no sistema canônico: matriz
. Tem um coeficiente positivo ( ) e dois negativos ( , ). Isso significa que a forma é indefinida (tem sinais opostos), o que tipicamente dá origem a um cone de duas nappes (não a uma esfera ou elipsoide). - Para ver a forma canônica, divido por
:
Isto já é uma forma canônica (diagonal) que mostra explicitamente um termo positivo e dois negativos. Portanto é um cone do tipo “elíptico” (as seções por planos perpendiculares a um eixo serão elipses).
Passo 4
Verificando as seções com planos coordenados (isso ajuda a esboçar).
- Plano
: substituindo obtemos . A única solução real é . Logo a superfície só cruza o plano no ponto — isto mostra que o cone não tem ponta afastada; a origem é vértice. - Plano
: substituindo obtemos , ou
Isso dá duas retas que passam pela origem no plano
: geratrizes do cone nesse plano.
- Plano
: substituindo obtemos , ou
duas retas no plano
também geratrizes.
Essas retas mostram direções concretas dos geradores do cone (linhas que formam as nappes).
Essas retas mostram direções concretas dos geradores do cone (linhas que formam as nappes).
Passo 5
Seções por planos
constante e por planos
ou
constantes — identificação dos cônicas obtidas.
- Para
com : substituindo obtemos
que é a equação de uma elipse no plano
. Assim, cortes transversais por planos perpendiculares ao eixo
são elipses cuja escala é proporcional a
. Isso confirma que o cone abre ao longo do eixo
: para
ficando maior em magnitude, a elipse transversal cresce linearmente em tamanho — característica típica de um cone elíptico duplo com vértice na origem.
- Para
com : substituindo obtemos
que é uma hipérbole no plano
.
- Para
com : substituindo obtemos
outra hipérbole no plano
.
Portanto, conforme se cortam a superfície com planos paralelos a ,
,
, aparecem elipses ou hipérboles conforme o plano escolhido — comportamento esperado de um cone elíptico.
Portanto, conforme se cortam a superfície com planos paralelos a
Passo 6
Outra forma que enfatiza as direções (razões
e
).
- Para
posso dividir a equação por e definir , . Obtenho
- Reescrevendo,
que é uma elipse no plano
das direções. Isso significa: as direções
que geram a superfície formam uma elipse — portanto o cone é elíptico (não é um cone circular com simetria rotacional completa, mas tem elipses de direções).
- Geometricamente: a superfície é o fecho das retas que partem da origem em todas as direções
com satisfazendo a elipse acima; cada direção gera uma reta que, variando o parâmetro de escala , dá os pontos na superfície.
Passo 7
Parametrização conveniente (útil para visualizar e, se necessário, desenhar numericamente).
- Usando coordenadas polares no plano
: seja e tal que . Da equação vem
- Assim uma parametrização das duas nappes é
com
. A escolha do sinal
dá as duas nappes (uma para
e outra para
).
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem cálculo pesado).
- Desenhe o eixo
horizontal e os eixos perpendiculares (padrão 3D). - Marque o vértice na origem
. - Desenhe as geratrizes encontradas nos planos coordenados:
- no plano
: retas ; - no plano
: retas .
Essas retas mostram as “arestas” do cone nos planos coordenados e ajudam a orientar a abertura.
- no plano
- Para um valor
desenhe a elipse (uma elipse alongada na direção ); repita para espelhado. - Ligue suavemente as elipses para formar as duas nappes do cone. Lembre-se: não é um cone circular — as elipses transversais têm eixos de comprimentos diferentes em
e .
Passo 9
Resumo final da classificação e propriedades principais (curto e claro).
- A superfície é um cone elíptico duplo (cono quádruico) com vértice na origem
. - O eixo do cone é o eixo
(os cortes const são elipses). - Interseções úteis: plano
dá retas ; plano dá retas ; para as seções são elipses . - Equivalente canônico:
Resposta
Cone elíptico duplo (vértice em
), com eixo no eixo
; cortes
(
) são elipses
; interseções com
são as retas
e com
são as retas
.