Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado pede para identificar, discutir e esboçar a superfície dada por
Informações e pedidos claros:
- A equação da superfície é
. - Preciso:
- identificar que tipo de superfície quadriculada é (nome canônico);
- discutir propriedades importantes (seções por planos, simetrias, rectas que pertencem, comportamento para grandes coordenadas, cone assintótico, etc.);
- explicar como esboçá‑la (o que desenhar e por quê).
- Dados disponíveis: só a equação (não há figura dada pelo enunciado).
Passo 2
Ideia geral para classificar essa superfície (sem pular etapas).
- Superfícies dadas por equações quadráticas em
são chamadas de quadricas. Para classificar uma quádrupla, é útil trazer a forma para uma forma canônica por mudança linear de variáveis (uma rotação/transformação ortogonal no plano neste caso). - Aqui há termo misto
e nenhum termo em ou . Uma mudança linear simples que elimina o termo misto é usar as variáveis Vou justificar e usar essa transformação agora.
Passo 3
Transformação
: cálculo direto e substituição.
- Calcule
e : - Subtraindo, obtemos
Portanto o termo se escreve simplesmente como . - Substituindo na equação da superfície:
Ou reorganizando:
Passo 4
Identificação do tipo canônico da quadra.
- A forma obtida é
- Esta é uma quadriculada do tipo
. No catálogo padrão de quádricas, a equação representa um hiperbolóide de uma folha (hiperbolóide de uma folha é uma superfície conectada que contém retas e é central simétrica). - Conclusão: a superfície é um hiperbolóide de uma folha. Como a transformação
é linear e invertível, a natureza topológica e geométrica não muda; portanto é um hiperbolóide de uma folha centrado na origem (a origem é o centro simétrico da quádrupla, embora não pertença à superfície).
Passo 5
Por que é uma folha só (argumento intuitivo) e conectividade.
- Para cada par
tal que temos , i.e. há dois valores de com sinais opostos. Esses dois ramos se encontram nos pontos onde , que exigem . Assim a superfície é conectada: os ramos com e se ligam ao longo da curva de interseção . Isso não cria duas folhas separadas, e sim um único componente conectado — característica do hiperbolóide de uma folha. - A superfície é par em
( deixa a equação invariante) e centralmente simétrica em relação à origem (se pertence, então também pertence).
Passo 6
Seções por planos coordenados e outras seções úteis (estas são as que ajudam no esboço).
- Plano
: substituindo obtemos que é uma hipérbole no plano . Essa é a “cintura” (contorno onde a superfície corta o plano horizontal) — é uma hipérbole aberta em dois ramos no plano . - Plano
: substituindo obtemos isto é para todo . Portanto a interseção com o plano são duas retas paralelas a eixo : e . Assim a superfície contém retas (é uma superfície regrada). - Plano
: análogo ao caso anterior — duas retas paralelas ao eixo em . - Plano
(isto é ): com temos e a equação vira que é uma elipse (na verdade uma circunferência no sistema ). Logo a seção pela reta-plano é uma curva fechada (elipse) — outra característica típica do hiperbolóide de uma folha: algumas seções são hipérbolas, outras são elipses. - Plano
constante: para fixo, a seção é ou . Se isso é uma hipérbole no plano . Se a seção degenera para , ou seja as duas retas coordenadas ou (caso observado antes). - Cone assintótico: para coordenadas grandes a constante
é menos relevante, o comportamento é aproximado por isto é, a superfície tem como cone assintótico a quádrupla , que em variáveis originais é . Esse cone delimita a direção em que a superfície cresce quando as coordenadas ficam grandes.
Passo 7
Propriedades geométricas extras que ajudam no desenho e entendimento
- A superfície contém retas: já vimos as retas vindas de
e (em ). Além disso, por ser hiperbolóide de uma folha, existe uma família contínua de retas nele (duas famílias de geratrizes — superfície regrada). - Simetrias:
- Simetria em
. - Simetria central:
. - Simetria por trocar
por se combinada com rotação apropriada no plano (aparecem nas variáveis ).
- Simetria em
- Ponto(s) de corte com os eixos:
- Não há ponto de interseção com o eixo
(pois dá , logo o eixo não é intersectado; em a superfície tem , que são dois pontos sobre o eixo ? Atenção: se então , então os pontos pertencem sim à superfície — correção: esses são dois pontos sobre o eixo .) - Interseção com o eixo
ou : tomando temos para todo ? Não — reescrever: se a equação vira , que não depende de ; para qualquer e isto não é consistente: plugando e qualquer temos , então para qualquer com e temos pontos — essas são retas paralelas ao eixo localizadas em planos . Portanto os pontos para todo pertencem à superfície, e análogo para . Estas são retas que facilitam o esboço. - Observação: os pontos
são, em particular, pontos comuns a essas retas quando ou .
- Não há ponto de interseção com o eixo
Passo 8
Como esboçar a superfície passo a passo (receita prática para a prova)
- Desenhe os eixos
ortogonais e marque o plano . - No plano
desenhe a hipérbole (ela é a seção da superfície nesse plano) — duas curvas em quadrantes opostos. - Marque as retas que aparecem: nas alturas
desenhe as retas paralelas aos eixos — explicitamente as retas e . Estas mostram que a superfície contém geratrizes retas. - Corte por planos do tipo
(ou ): desenhe a elipse no plano . Isso ajuda a ver a seção fechada (garganta) da superfície. - Para
fixos positivos menores que , desenhe hipérboles cada vez com “abertura” diferente; para a constante no lado direito é negativa e a hipérbole muda de espécie (abertura em outros quadrantes). Intercale estas seções para formar a superfície 3D — lembre que a superfície é simétrica em e centralmente simétrica. - Se desejar guiar o desenho, faça a mudança para variáveis
onde a superfície fica na forma , que é o hiperbolóide de uma folha clássico (isso ajuda a imaginar a forma tipo “cintura” no meio e alargando-se para cima/baixo).
Resposta
A superfície
é um hiperbolóide de uma folha, que em variáveis
fica na forma canônica
.