Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
4 x y+z^{2}=2

Passo 1

O enunciado pede para identificar, discutir e esboçar a superfície dada por
4xy+z^{2}=2.
Informações e pedidos claros:
  • A equação da superfície é \,4xy+z^{2}=2.
  • Preciso:
    • identificar que tipo de superfície quadriculada é (nome canônico);
    • discutir propriedades importantes (seções por planos, simetrias, rectas que pertencem, comportamento para grandes coordenadas, cone assintótico, etc.);
    • explicar como esboçá‑la (o que desenhar e por quê).
  • Dados disponíveis: só a equação (não há figura dada pelo enunciado).

Passo 2

Ideia geral para classificar essa superfície (sem pular etapas).
  • Superfícies dadas por equações quadráticas em x,y,z são chamadas de quadricas. Para classificar uma quádrupla, é útil trazer a forma para uma forma canônica por mudança linear de variáveis (uma rotação/transformação ortogonal no plano xy neste caso).
  • Aqui há termo misto xy e nenhum termo em x^{2} ou y^{2}. Uma mudança linear simples que elimina o termo misto é usar as variáveis u = x+y,\qquad v = x-y.Vou justificar e usar essa transformação agora.

Passo 3

Transformação u=x+y,\;v=x-y: cálculo direto e substituição.
  • Calcule u^{2} e v^{2}: u^{2}=(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}, \qquad v^{2}=(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}.
  • Subtraindo, obtemos u^{2}-v^{2}=4xy.Portanto o termo 4xy se escreve simplesmente como u^{2}-v^{2}.
  • Substituindo na equação da superfície: 4xy+z^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad u^{2}-v^{2}+z^{2}=2.Ou reorganizando: u^{2}+z^{2}-v^{2}=2.

Passo 4

Identificação do tipo canônico da quadra.
  • A forma obtida é u^{2}+z^{2}-v^{2}=2.
  • Esta é uma quadriculada do tipo \text{(duas coeficientes positivos)} - \text{(um coeficiente positivo)} = \text{constante positiva}. No catálogo padrão de quádricas, a equação X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=\text{const}>0representa um hiperbolóide de uma folha (hiperbolóide de uma folha é uma superfície conectada que contém retas e é central simétrica).
  • Conclusão: a superfície é um hiperbolóide de uma folha. Como a transformação (x,y)\mapsto(u,v) é linear e invertível, a natureza topológica e geométrica não muda; portanto \,4xy+z^{2}=2 é um hiperbolóide de uma folha centrado na origem (a origem é o centro simétrico da quádrupla, embora não pertença à superfície).

Passo 5

Por que é uma folha só (argumento intuitivo) e conectividade.
  • Para cada par (x,y) tal que xy<\tfrac12 temos z=\pm\sqrt{2-4xy}, i.e. há dois valores de z com sinais opostos. Esses dois ramos se encontram nos pontos onde z=0, que exigem xy=\tfrac12. Assim a superfície é conectada: os ramos com z>0 e z<0 se ligam ao longo da curva de interseção z=0,\;xy=\tfrac12. Isso não cria duas folhas separadas, e sim um único componente conectado — característica do hiperbolóide de uma folha.
  • A superfície é par em z ( z\mapsto -z deixa a equação invariante) e centralmente simétrica em relação à origem (se (x,y,z) pertence, então (-x,-y,-z) também pertence).

Passo 6

Seções por planos coordenados e outras seções úteis (estas são as que ajudam no esboço).
  • Plano z=0: substituindo z=0 obtemos 4xy=2 \quad\Longrightarrow\quad xy=\tfrac12,que é uma hipérbole no plano z=0. Essa é a “cintura” (contorno onde a superfície corta o plano horizontal) — é uma hipérbole aberta em dois ramos no plano z=0.
  • Plano x=0: substituindo x=0 obtemos z^{2}=2,isto é z=\pm\sqrt{2} para todo y. Portanto a interseção com o plano x=0 são duas retas paralelas a eixo y: \{(0,y,\sqrt{2})\} e \{(0,y,-\sqrt{2})\}. Assim a superfície contém retas (é uma superfície regrada).
  • Plano y=0: análogo ao caso anterior — duas retas paralelas ao eixo x em z=\pm\sqrt{2}.
  • Plano v=0 (isto é x=y): com v=0 temos u=2x e a equação vira u^{2}+z^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+z^{2}=2,que é uma elipse (na verdade uma circunferência no sistema (u,z)). Logo a seção pela reta-plano x=y é uma curva fechada (elipse) — outra característica típica do hiperbolóide de uma folha: algumas seções são hipérbolas, outras são elipses.
  • Plano z= constante: para z=z_{0} fixo, a seção é 4xy = 2 - z_{0}^{2},ou xy=\dfrac{2-z_{0}^{2}}{4}. Se 2-z_{0}^{2}\neq 0 isso é uma hipérbole no plano z=z_{0}. Se z_{0}^{2}=2 a seção degenera para xy=0, ou seja as duas retas coordenadas x=0 ou y=0 (caso observado antes).
  • Cone assintótico: para coordenadas grandes a constante 2 é menos relevante, o comportamento é aproximado por u^{2}+z^{2}-v^{2}=0,isto é, a superfície tem como cone assintótico a quádrupla u^{2}+z^{2}-v^{2}=0, que em variáveis originais é 4xy+z^{2}=0. Esse cone delimita a direção em que a superfície cresce quando as coordenadas ficam grandes.

Passo 7

Propriedades geométricas extras que ajudam no desenho e entendimento
  • A superfície contém retas: já vimos as retas vindas de x=0 e y=0 (em z=\pm\sqrt{2}). Além disso, por ser hiperbolóide de uma folha, existe uma família contínua de retas nele (duas famílias de geratrizes — superfície regrada).
  • Simetrias:
    • Simetria em z\mapsto -z.
    • Simetria central: (x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z).
    • Simetria por trocar x por y se combinada com rotação apropriada no plano xy (aparecem nas variáveis u,v).
  • Ponto(s) de corte com os eixos:
    • Não há ponto de interseção com o eixo z (pois x=y=0 z^{2}=2, logo o eixo z não é intersectado; em x=y=0 a superfície tem z=\pm\sqrt{2}, que são dois pontos sobre o eixo z? Atenção: se x=0,y=0 então z^{2}=2, então os pontos (0,0,\pm\sqrt{2}) pertencem sim à superfície — correção: esses são dois pontos sobre o eixo z.)
    • Interseção com o eixo x ou y: tomando y=0 temos z^{2}=2 para todo x? Não — reescrever: se y=0 a equação vira z^{2}=2, que não depende de x; para qualquer x e y=0 isto não é consistente: plugando y=0 e qualquer x temos 4x\cdot 0 + z^{2}=2\Rightarrow z^{2}=2, então para qualquer x com y=0 e z=\pm\sqrt{2} temos pontos — essas são retas paralelas ao eixo x localizadas em planos z=\pm\sqrt{2}. Portanto os pontos (x,0,\pm\sqrt{2}) para todo x\in\mathbb{R} pertencem à superfície, e análogo para (0,y,\pm\sqrt{2}). Estas são retas que facilitam o esboço.
    • Observação: os pontos (0,0,\pm\sqrt{2}) são, em particular, pontos comuns a essas retas quando x=0 ou y=0.

Passo 8

Como esboçar a superfície passo a passo (receita prática para a prova)
  1. Desenhe os eixos x,y,z ortogonais e marque o plano z=0.
  2. No plano z=0 desenhe a hipérbole xy=\tfrac12 (ela é a seção da superfície nesse plano) — duas curvas em quadrantes opostos.
  3. Marque as retas que aparecem: nas alturas z=\pm\sqrt{2} desenhe as retas paralelas aos eixos — explicitamente as retas \{(x,0,\pm\sqrt{2}):x\in\mathbb{R}\} e \{(0,y,\pm\sqrt{2}):y\in\mathbb{R}\}. Estas mostram que a superfície contém geratrizes retas.
  4. Corte por planos do tipo x=y (ou v=0): desenhe a elipse 4x^{2}+z^{2}=2 no plano x=y. Isso ajuda a ver a seção fechada (garganta) da superfície.
  5. Para z fixos positivos menores que \sqrt{2}, desenhe hipérboles xy=(2-z^{2})/4 cada vez com “abertura” diferente; para |z|>\sqrt{2} a constante no lado direito é negativa e a hipérbole muda de espécie (abertura em outros quadrantes). Intercale estas seções para formar a superfície 3D — lembre que a superfície é simétrica em z e centralmente simétrica.
  6. Se desejar guiar o desenho, faça a mudança para variáveis u=x+y,\;v=x-y onde a superfície fica na forma u^{2}+z^{2}-v^{2}=2, que é o hiperbolóide de uma folha clássico (isso ajuda a imaginar a forma tipo “cintura” no meio e alargando-se para cima/baixo).

Resposta

A superfície \,4xy+z^{2}=2 é um hiperbolóide de uma folha, que em variáveis u=x+y,\;v=x-y fica na forma canônica \,u^{2}+z^{2}-v^{2}=2.

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